Calcule a distância do ponto
ao plano
tal que
e
. Determine o ponto
simétrico a
em relação ao plano
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a distância do ponto
até o plano
dado por
. Além disso, vamos encontrar o ponto
que é simétrico a
em relação a esse plano. Para isso, vamos usar fórmulas de geometria analítica que envolvem a distância de um ponto a um plano e a reflexão de pontos em planos.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a distância do ponto
até o plano
. A fórmula para a distância
de um ponto
a um plano
é:
No nosso caso, o ponto
tem coordenadas
e o plano
é
, então
,
,
e
.
Passo 3
Vamos substituir os valores na fórmula:
Então, a distância do ponto
até o plano
é 2 unidades.
Passo 4
Agora, vamos encontrar o ponto
simétrico a
em relação ao plano
. A ideia aqui é que
esteja na outra extremidade do intervalo que passa por
e é perpendicular ao plano.
A fórmula para encontrar
é:
Onde
é o vetor normal ao plano
. Primeiro, vamos identificar
. Para o plano
, o vetor normal é
.
Passo 5
Precisamos que
seja um vetor unitário, então vamos normalizá-lo dividindo pelo seu módulo:
Então, o vetor unitário é:
Passo 6
Sabemos que a distância
, então:
Resposta
A distância do ponto
ao plano
é 2 unidades e o ponto simétrico
é
.