Calcule a distância do ponto P ao plano pi tal que P=(0,0,-6) e pi: x-2 y-2 z-6=0. Determine o ponto P^prime simétrico a P em relação ao plano pi.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a distância do ponto até o plano dado por . Além disso, vamos encontrar o ponto que é simétrico a em relação a esse plano. Para isso, vamos usar fórmulas de geometria analítica que envolvem a distância de um ponto a um plano e a reflexão de pontos em planos.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a distância do ponto d = |Ax0 + By0 + Cz0 + D|raizA^2 + B^2 + C^2 até o plano . A fórmula para a distância de um ponto a um plano é:
No nosso caso, o ponto tem coordenadas e o plano é , então , , e .

Passo 3

Vamos substituir os valores na fórmula:
d = |1 cdot 0 + (-2) cdot 0 + (-2) cdot (-6) - 6|raiz1^2 + (-2)^2 + (-2)^2 = |0 + 0 + 12 - 6|raiz1 + 4 + 4 = 6raiz9 = 63 = 2
Então, a distância do ponto até o plano é 2 unidades.

Passo 4

Agora, vamos encontrar o ponto P' = P + 2d cdot n simétrico a em relação ao plano . A ideia aqui é que esteja na outra extremidade do intervalo que passa por e é perpendicular ao plano.
A fórmula para encontrar é:
Onde é o vetor normal ao plano . Primeiro, vamos identificar . Para o plano , o vetor normal é .

Passo 5

Precisamos que |n| = raiz1^2 + (-2)^2 + (-2)^2 = raiz1 + 4 + 4 = 3 seja um vetor unitário, então vamos normalizá-lo dividindo pelo seu módulo:
n = ( 13, -23, -23 )
Então, o vetor unitário é:

Passo 6

Sabemos que a distância P' = P + 2d cdot n = (0, 0, -6) + 2 cdot 2 cdot ( 13, -23, -23 ) = (0, 0, -6) + ( 43, -83, -83 ) = ( 43, -83, -263 ) , então:

Resposta

A distância do ponto ao plano é 2 unidades e o ponto simétrico é .

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