Ache os pontos sobre a curva y = 2x³ + 3x² - 12x + 1 onde a tangente é horizontal.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta é para encontrar os pontos na curva $ y = 2x^3 + 3x^2 - 12x + 1 $ onde a tangente é horizontal. Vamos usar o conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente o conceito de derivada, para achar esses pontos.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que significa ter uma tangente horizontal. Uma tangente horizontal ocorre onde a inclinação da curva é zero. E aí que entra a derivada! A derivada de uma função nos dá a inclinação da tangente em qualquer ponto.
Passo 3
Então, vamos calcular a derivada de $ y $ em relação a $ x $. A derivada de $ y = 2x^3 + 3x^2 - 12x + 1 $ é:
Passo 4
Agora, queremos encontrar onde essa derivada é igual a zero, porque isso indica onde a inclinação é horizontal. Assim, resolvemos a equação:
Passo 5
Podemos simplificar essa equação dividindo todos os termos por 6:
Passo 6
Agora, vamos resolver a equação quadrática $ x^2 + x - 2 = 0 $. Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Onde $ a = 1 $, $ b = 1 $ e $ c = -2 $. Substituindo:
Passo 7
Isso nos dá duas soluções para $ x $:
Passo 8
Agora que temos os valores de $ x $, vamos encontrar os correspondentes valores de $ y $ substituindo na equação original:
Para $ x = 1 $:
Para $ x = -2 $:
Resposta
Os pontos onde a tangente é horizontal são $ (1, -6) $ e $ (-2, 21) $.