Ache os pontos sobre a curva y = 2 x^3 + 3 x^2 - 12 + 1 onde a tangente é horizontal.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para encontrar os pontos na curva onde a tangente é horizontal. Isso envolve conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas. Vamos precisar calcular a derivada da função para encontrar onde a inclinação da tangente (a derivada) é zero, indicando uma tangente horizontal.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação da curva para facilitar os cálculos:
Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a , que nos dará a inclinação da tangente em qualquer ponto da curva.

Passo 3

Vamos calcular a derivada :
A derivada de é , então aplicando isso:

Passo 4

Agora, queremos encontrar onde a tangente é horizontal. Isso acontece quando a inclinação da tangente é zero, ou seja:
Então, igualamos a derivada a zero:

Passo 5

Vamos resolver essa equação para encontrar os valores de :
Podemos fatorar:
Então, as soluções são:

Passo 6

Agora que temos os valores de , vamos encontrar os correspondentes valores de substituindo na equação original da curva:
Para :
Para :

Resposta

Os pontos onde a tangente é horizontal na curva são:

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