Nos exercícios abaixo, calcule a área do conjunto A.
j) A é o conjunto do todos os pontos (x, y) tais que 0 <= x < pi/2 e 0 <= y <= sec^2(x).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a área do conjunto , que é formado por todos os pontos onde e . Basicamente, precisamos encontrar a área sob o gráfico da função no intervalo de até . Para isso, vamos usar o conceito de integração, que nos ajuda a calcular áreas sob curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para encontrar a área sob uma curva entre dois valores de , a gente calcula a integral definida de nesse intervalo. No nosso caso, a função é e o intervalo vai de até . Então, a área que queremos é dada por:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa integral. Sabemos que a integral de é , então:
Sabemos que , mas o que acontece com ? A tangente de é indefinida porque ela tende ao infinito. Isso significa que a área está tentando somar algo que cresce sem limites.

Resposta

A área do conjunto é infinita.

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