Determinar as assíntotas horizontais e verticais do gráfico das seguintes funções, quando existir e desenhar o esboço de seu gráfico:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar as assíntotas horizontais e verticais do gráfico da função . Estamos trabalhando com o tópico de assíntotas em funções, que envolve entender como a função se comporta às extremidades ou perto de certos valores de . Para resolver isso, vamos precisar analisar os limites da função quando vai para o infinito (para as assíntotas horizontais) e identificar os valores de que tornam o denominador zero ou indefinido (para as assíntotas verticais).

Passo 2

Primeiro, vamos determinar as assíntotas verticais. As assíntotas verticais ocorrem onde a função não está definida, geralmente onde o denominador é zero ou a expressão dentro de uma raiz quadrada é negativa (o que torna a função indefinida).
Na nossa função , o denominador é . Para que o denominador seja real e definido, a expressão dentro da raiz deve ser maior que zero:
Isso significa que a função está definida apenas para e . Portanto, os pontos e são candidatos a assíntotas verticais porque a função tende ao infinito próximo a esses valores.

Passo 3

Agora, vamos verificar as assíntotas horizontais. As assíntotas horizontais são determinadas observando o comportamento da função quando tende a ou .
Vamos calcular o limite de quando tende a :
Podemos simplificar o denominador para facilitar o cálculo:
Como tende a , , então:
À medida que cresce, tende a zero, então:
O mesmo ocorre quando tende a :
Como o limite tende ao infinito em ambas as direções, não há assíntotas horizontais para essa função.

Passo 4

Por fim, vamos esboçar o gráfico da função :
  1. Domínio: e .
  2. Assíntotas verticais: e .
  3. Comportamento: A função tende ao infinito quando se aproxima de e , e também tende ao infinito quando vai para ou .
  4. Simetria: A função é simétrica em relação ao eixo porque está ao quadrado.
O gráfico terá duas “ramificações” nas regiões e , com as assíntotas verticais como linhas que a função nunca toca, mas se aproxima cada vez mais.

Resposta

A função possui assíntotas verticais em e , e não possui assíntotas horizontais. O esboço do gráfico apresenta duas ramificações nas regiões e , aproximando-se das assíntotas verticais e tendendo ao infinito nas extremidades.

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