Determinar as assíntotas horizontais e verticais do gráfico das seguintes funções, quando existir e desenhar o esboço de seu gráfico:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar as assíntotas horizontais e verticais do gráfico da função
. Estamos trabalhando com o tópico de assíntotas em funções, que envolve entender como a função se comporta às extremidades ou perto de certos valores de
. Para resolver isso, vamos precisar analisar os limites da função quando
vai para o infinito (para as assíntotas horizontais) e identificar os valores de
que tornam o denominador zero ou indefinido (para as assíntotas verticais).
Passo 2
Primeiro, vamos determinar as assíntotas verticais. As assíntotas verticais ocorrem onde a função não está definida, geralmente onde o denominador é zero ou a expressão dentro de uma raiz quadrada é negativa (o que torna a função indefinida).
Na nossa função
, o denominador é
. Para que o denominador seja real e definido, a expressão dentro da raiz deve ser maior que zero:
Isso significa que a função está definida apenas para
e
. Portanto, os pontos
e
são candidatos a assíntotas verticais porque a função tende ao infinito próximo a esses valores.
Passo 3
Agora, vamos verificar as assíntotas horizontais. As assíntotas horizontais são determinadas observando o comportamento da função quando
tende a
ou
.
Vamos calcular o limite de
quando
tende a
:
Podemos simplificar o denominador para facilitar o cálculo:
Como
tende a
,
, então:
À medida que
cresce,
tende a zero, então:
O mesmo ocorre quando
tende a
:
Como o limite tende ao infinito em ambas as direções, não há assíntotas horizontais para essa função.
Passo 4
Por fim, vamos esboçar o gráfico da função
:
- Domínio:
e . - Assíntotas verticais:
e . - Comportamento: A função tende ao infinito quando
se aproxima de e , e também tende ao infinito quando vai para ou . - Simetria: A função é simétrica em relação ao eixo
porque está ao quadrado.
O gráfico terá duas “ramificações” nas regiões
e
, com as assíntotas verticais como linhas que a função nunca toca, mas se aproxima cada vez mais.
Resposta
A função
possui assíntotas verticais em
e
, e não possui assíntotas horizontais. O esboço do gráfico apresenta duas ramificações nas regiões
e
, aproximando-se das assíntotas verticais e tendendo ao infinito nas extremidades.
Exercícios relacionados
Dada a função
. Determine: faça o gráfico.
Dada a função
. Determine: A assíntota vertical no ponto de descontinuidade.
Derive cada identidade trigonométrica para obter uma nova identidade (ou familiar)
(b)
(b)
Ache os pontos sobre a curva
onde a tangente é horizontal.