Uma fábrica tem duas classificações para seus operários, A e B. Os operários da classe A recebem \$ por jornada e os da classe por jornada e os da classe por jornada. Para um certo lote de produção, está determinado que se por jornada. Para um certo lote de produção, está determinado que se operários da classe A e y operários da classe B trabalharem, o custo do lote será de operários da classe A e y operários da classe B trabalharem, o custo do lote será de . Quantos operários de cada classe devem ser empregados, de tal forma que o custo do lote seja mínimo, se pelo menos três operários de cada classe são exigidos para a sua fabricação.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma fábrica que tem dois tipos de operários: classe A e classe B. Cada classe tem um custo por jornada de trabalho — para a classe A e para a classe B. A função que representa o custo total do lote de produção é dada por:
onde x é o número de operários da classe A e y o número da classe B. A gente precisa encontrar quantos operários de cada classe devem ser contratados para que esse custo seja mínimo, lembrando que pelo menos 3 operários de cada classe são necessários.
Vamos usar Cálculo Diferencial para encontrar esse mínimo, mais especificamente o método de otimização usando derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função de custo em relação a x e y. Derivadas parciais nos ajudam a ver como a função muda quando a gente varia uma variável, mantendo a outra constante.
A derivada parcial de C em relação a x é:
E a derivada parcial de C em relação a y é:

Passo 3

Para encontrar os pontos críticos onde a função pode ter um mínimo, máximo ou ponto de sela, igualamos as derivadas parciais a zero:
  1. \quad (1)
  2. \quad (2)
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de x e y.

Passo 4

Da equação (1), podemos expressar x em termos de y:
Agora, substituímos na equação (2):
Isso nos dá duas soluções possíveis para y:
Mas lembra que no enunciado nos diz que pelo menos 3 operários de cada classe são necessários, então não é válido. Assim, temos:
E, como :

Passo 5

Agora, precisamos verificar se esses valores realmente dão um mínimo para a função de custo. Para isso, vamos usar o teste da segunda derivada.
Calculamos as segundas derivadas:
O determinante da matriz Hessiana é:
Substituindo :
Como e , temos que o ponto encontrado é um mínimo.

Resposta

Para minimizar o custo do lote, a fábrica deve empregar aproximadamente operários da classe A e operários da classe B.

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