Uma fábrica tem duas classificações para seus operários, A e B. Os operários da classe
recebem
por jornada e os da classe
por jornada. Para um certo lote de produção, está determinado que se
operários da classe A e y operários da classe B trabalharem, o custo do lote será de
. Quantos operários de cada classe devem ser empregados, de tal forma que o custo do lote seja mínimo, se pelo menos três operários de cada classe são exigidos para a sua fabricação.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma fábrica que tem dois tipos de operários: classe A e classe B. Cada classe tem um custo por jornada de trabalho —
para a classe A e
para a classe B. A função que representa o custo total do lote de produção é dada por:
onde
é o número de operários da classe A e
o número da classe B. A gente precisa encontrar quantos operários de cada classe devem ser contratados para que esse custo seja mínimo, lembrando que pelo menos 3 operários de cada classe são necessários.
Vamos usar Cálculo Diferencial para encontrar esse mínimo, mais especificamente o método de otimização usando derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função de custo em relação a
e
. Derivadas parciais nos ajudam a ver como a função muda quando a gente varia uma variável, mantendo a outra constante.
A derivada parcial de
em relação a
é:
E a derivada parcial de
em relação a
é:
Passo 3
Para encontrar os pontos críticos onde a função pode ter um mínimo, máximo ou ponto de sela, igualamos as derivadas parciais a zero:
-
\quad (1) -
\quad (2)
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de
e
.
Passo 4
Da equação (1), podemos expressar
em termos de
:
Agora, substituímos
na equação (2):
Isso nos dá duas soluções possíveis para
:
Mas lembra que no enunciado nos diz que pelo menos 3 operários de cada classe são necessários, então
não é válido. Assim, temos:
E, como
:
Passo 5
Agora, precisamos verificar se esses valores realmente dão um mínimo para a função de custo. Para isso, vamos usar o teste da segunda derivada.
Calculamos as segundas derivadas:
O determinante da matriz Hessiana é:
Substituindo
:
Como
e
, temos que o ponto encontrado é um mínimo.
Resposta
Para minimizar o custo do lote, a fábrica deve empregar aproximadamente
operários da classe A e
operários da classe B.
Exercícios relacionados
Escreva as expressões abaixo utilizando apenas a função
Ache os pontos na superfície
que estão mais próximos da origem e determine a distância mínima.
observando a tabela de senos e cossenos, compute: