Ache, se possível, um matriz inversivel e um matriz diagonal tal que seja diagonal, onde
(10 pontos)
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar, se possível, uma matriz inversível e uma matriz diagonal tais que , onde
Conteúdo da matéria: Este problema envolve a diagonalização de matrizes, que é um processo onde uma matriz quadrada é expressa como , sendo uma matriz diagonal e uma matriz formada pelos autovetores de .
O que vamos precisar para resolver:
Encontrar os autovalores de .
Encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Formar a matriz com esses autovetores e a matriz com os autovalores na diagonal.
Verificar se é inversível.
Passo 2
Encontrando os autovalores de :
Os autovalores são encontrados resolvendo o determinante , onde é a matriz identidade.
Calculando o determinante:
Simplificando:
Então, a equação característica é:
Multiplicando por -1 para simplificar:
Vamos tentar encontrar as raízes dessa equação. Testando :
Então, é uma raiz. Fazendo a divisão polinomial para fatorar:
Agora, resolvendo :
Portanto, os autovalores são (com multiplicidade 2) e .
Passo 3
Encontrando os autovetores de :
Para cada autovalor, encontramos o autovetor resolvendo .
Para :
Vamos resolver o sistema:
Da segunda equação: .
Substituindo na primeira equação:
Então, , .
Podemos escolher , então o autovetor é:
Para :
Resolvendo o sistema:
Vamos simplificar. Da primeira equação: .
Substituindo na segunda equação:
Agora, .
Escolhendo para simplificar, temos:
Então, o autovetor é:
Passo 4
Formando as matrizes e :
A matriz é formada pelos autovetores de . Como temos dois autovalores, e o autovalor tem multiplicidade 2, precisamos de dois autovetores distintos para esse autovalor para que seja inversível.
No entanto, até agora, encontramos apenas um autovetor para . Isso indica que a matriz pode não ser diagonalizável, pois precisamos de uma base completa de autovetores.
Vamos verificar se existe outro autovetor para .
Verificando se há mais autovetores para :
Usando :
Já vimos que a solução geral é , . Isso significa que todos os autovetores para são múltiplos de .
Como não conseguimos encontrar um segundo autovetor linearmente independente para , a matriz não é diagonalizável.
Resposta
Não é possível diagonalizar a matriz pois não existe uma quantidade suficiente de autovetores linearmente independentes para formar a matriz . Portanto, não existem matrizes inversível e diagonal tal que .