Ache, se possível, um matriz inversivel P e um matriz diagonal D tal que A=P D P^-1 seja diagonal, onde
A=[ccc 4 & 2 & 3 2 & 1 & 2 -1 & -2 & 0 ]
(10 pontos)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar, se possível, uma matriz inversível A = 4 & 2 & 3 2 & 1 & 2 -1 & -2 & 0 e uma matriz diagonal tais que , onde
Conteúdo da matéria: Este problema envolve a diagonalização de matrizes, que é um processo onde uma matriz quadrada é expressa como , sendo uma matriz diagonal e uma matriz formada pelos autovetores de .
O que vamos precisar para resolver:
  1. Encontrar os autovalores de .
  2. Encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
  3. Formar a matriz com esses autovetores e a matriz com os autovalores na diagonal.
  4. Verificar se é inversível.

Passo 2

Encontrando os autovalores de A - lambda I = 4 - lambda & 2 & 3 2 & 1 - lambda & 2 -1 & -2 & -lambda :
Os autovalores det(A - lambda I) = (4 - lambda)[(1 - lambda)(-lambda) - (2)(-2)] - 2[2(-lambda) - 2(-1)] + 3[2(-2) - (1 - lambda)(-1)] são encontrados resolvendo o determinante = (4 - lambda)[(-lambda + lambda^2) + 4] - 2[-2lambda + 2] + 3[-4 + (1 - lambda)] , onde = (4 - lambda)(lambda^2 - lambda + 4) + 4lambda - 4 + 3(-3 - lambda) é a matriz identidade.
= (4 - lambda)(lambda^2 - lambda + 4) + 4lambda - 4 - 9 - 3lambda
Calculando o determinante:
= (4)(lambda^2 - lambda + 4) - lambda(lambda^2 - lambda + 4) + lambda - 13
Simplificando:
= 4lambda^2 - 4lambda + 16 - lambda^3 + lambda^2 - 4lambda + lambda - 13
= -lambda^3 + 5lambda^2 - 7lambda + 3
-lambda^3 + 5lambda^2 - 7lambda + 3 = 0
lambda^3 - 5lambda^2 + 7lambda - 3 = 0
1 - 5 + 7 - 3 = 0
lambda^3 - 5lambda^2 + 7lambda - 3 = (lambda - 1)(lambda^2 - 4lambda + 3)
Então, a equação característica é:
lambda = 4 pm raiz16 - 122 = 4 pm 22 = 3 ou 1
Multiplicando por -1 para simplificar:
Vamos tentar encontrar as raízes dessa equação. Testando :
Então, é uma raiz. Fazendo a divisão polinomial para fatorar:
Agora, resolvendo :
Portanto, os autovalores são (com multiplicidade 2) e .

Passo 3

Encontrando os autovetores de A - I = 3 & 2 & 3 2 & 0 & 2 -1 & -2 & -1 :
Para cada autovalor, encontramos o autovetor resolvendo 3x + 2y + 3z = 0 2x + 0y + 2z = 0 -1x - 2y - 1z = 0 .
  1. Para 3(-z) + 2y + 3z = 0 Rightarrow -3z + 2y + 3z = 2y = 0 Rightarrow y = 0 :
v1 = -1 0 1
Vamos resolver o sistema:
A - 3I = 1 & 2 & 3 2 & -2 & 2 -1 & -2 & -3
Da segunda equação: x + 2y + 3z = 0 2x - 2y + 2z = 0 -1x -2y -3z = 0 .
Substituindo na primeira equação:
2(-2y - 3z) - 2y + 2z = -4y -6z -2y +2z = -6y -4z = 0 Rightarrow 6y + 4z = 0 Rightarrow 3y + 2z = 0 Rightarrow y = -23z
Então, x = -5, y = -2, z = 3 , v2 = -5 -2 3 .
Podemos escolher , então o autovetor é:
  1. Para :
Resolvendo o sistema:
Vamos simplificar. Da primeira equação: .
Substituindo na segunda equação:
Agora, .
Escolhendo para simplificar, temos:
Então, o autovetor é:

Passo 4

Formando as matrizes 3 & 2 & 3 2 & 0 & 2 -1 & -2 & -1 e -1 0 1 :
A matriz é formada pelos autovetores de . Como temos dois autovalores, e o autovalor tem multiplicidade 2, precisamos de dois autovetores distintos para esse autovalor para que seja inversível.
No entanto, até agora, encontramos apenas um autovetor para . Isso indica que a matriz pode não ser diagonalizável, pois precisamos de uma base completa de autovetores.
Vamos verificar se existe outro autovetor para .
Verificando se há mais autovetores para :
Usando :
Já vimos que a solução geral é , . Isso significa que todos os autovetores para são múltiplos de .
Como não conseguimos encontrar um segundo autovetor linearmente independente para , a matriz não é diagonalizável.

Resposta

Não é possível diagonalizar a matriz pois não existe uma quantidade suficiente de autovetores linearmente independentes para formar a matriz . Portanto, não existem matrizes inversível e diagonal tal que .

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