Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar uma base ortonormal para o conjunto W = X in R^5 mid A X=0, onde A é uma matriz dada. Isso envolve conceitos de espaços nulos e ortonormalização na álgebra linear. Vamos precisar montar a solução do sistema linear A X = 0 e depois aplicar um método para tornar os vetores da base perpendiculares e de módulo 1.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa A X = 0. Aqui, A é uma matriz 3 times 5, e X é um vetor em R^5. O conjunto das soluções desse sistema é chamado de espaço nulo ou núcleo de A, denotado por W. Nosso objetivo é encontrar uma base para esse espaço nulo.
Passo 3
Para encontrar a base de W, precisamos resolver o sistema linear homogêneo A X = 0. Vamos escrever a matriz aumentada e realizar a eliminação de Gauss para encontrar as soluções livres.
Vamos formar a matriz aumentada [A | 0] e fazer as operações para reduzir a matriz.
Passo 4
Primeiro, notamos que a segunda linha é -2 vezes a primeira linha mais uma combinação. Então, vamos substituir a segunda e terceira linhas para simplificar:
Agora que temos uma base para W, precisamos ortogonalizar esses vetores e depois normalizá-los para obter uma base ortonormal. Vamos usar o método de Gram-Schmidt para isso.