Encontre um base ortonormal para W=X in R^5 mid A X=0 onde (6 pontos)
A=[ccccc 1 & 1 & 0 & 0 & 1 -2 & -2 & 1 & -1 & -1 1 & 1 & -1 & 1 & 0 ]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar uma base ortonormal para o conjunto W = X in R^5 mid A X=0, onde A é uma matriz dada. Isso envolve conceitos de espaços nulos e ortonormalização na álgebra linear. Vamos precisar montar a solução do sistema linear A X = 0 e depois aplicar um método para tornar os vetores da base perpendiculares e de módulo 1.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa A X = 0. Aqui, A é uma matriz 3 times 5, e X é um vetor em R^5. O conjunto das soluções desse sistema é chamado de espaço nulo ou núcleo de A, denotado por W. Nosso objetivo é encontrar uma base para esse espaço nulo.

Passo 3

Para encontrar a base de W, precisamos resolver o sistema linear homogêneo A X = 0. Vamos escrever a matriz aumentada e realizar a eliminação de Gauss para encontrar as soluções livres.
A matriz A é:
A = 1 & 1 & 0 & 0 & 1 -2 & -2 & 1 & -1 & -1 1 & 1 & -1 & 1 & 0
Vamos formar a matriz aumentada [A | 0] e fazer as operações para reduzir a matriz.

Passo 4

Primeiro, notamos que a segunda linha é -2 vezes a primeira linha mais uma combinação. Então, vamos substituir a segunda e terceira linhas para simplificar:
  1. Linha 2: L2 + 2L1 L2
1 & 1 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & 1 & -1 & 1 1 & 1 & -1 & 1 & 0
  1. Linha 3: L3 - L1 L3
1 & 1 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & 1 & -1 & 1 0 & 0 & -1 & 1 & -1
Agora, somamos a segunda linha com a terceira para eliminar o termo -1:
  1. Linha 3: L3 + L2 L3
1 & 1 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & 1 & -1 & 1 0 & 0 & 0 & 0 & 0

Passo 5

Agora, temos a matriz reduzida. Vamos traduzir isso para equações:
x1 + x2 + x5 = 0 x3 - x4 + x5 = 0 0 = 0
As variáveis livres são x2, x4 e x5. Vamos expressar as variáveis básicas ( x1 e x3) em termos dessas livres:
x1 = -x2 - x5 x3 = x4 - x5

Passo 6

Agora, vamos escrever o vetor X em termos das variáveis livres:

[
X = X = x1 x2 x3 x4 x5 = - x2 - x5 x2 x4 - x5 x4 x5 = x2 -1 1 0 0 0 + x4 0 0 1 1 0 + x5 -1 0 -1 0 1

W
=
x_2 -1 1 0 0 0 , 0 0 1 1 0 , -1 0 -1 0 1
+
x_4
+
x_5
]
Então, uma base para é formada pelos vetores:

Passo 7

Agora que temos uma base para W, precisamos ortogonalizar esses vetores e depois normalizá-los para obter uma base ortonormal. Vamos usar o método de Gram-Schmidt para isso.
Primeiro, vamos chamar os vetores de v1, v2 e v3:
v1 = -1 1 0 0 0 , v2 = 0 0 1 1 0 , v3 = -1 0 -1 0 1

Passo 8

Aplicando o processo de Gram-Schmidt:
  1. Primeiro vetor ortogonal:
u1 = v1 = -1 1 0 0 0
  1. Segundo vetor ortogonal:
u2 = v2 - proju1(v2)
Calculando a projeção:
proju1(v2) = v2 cdot u1u1 cdot u1 u1 = 02 u1 = 0 0 0 0 0
Então:
u2 = v2 = 0 0 1 1 0
  1. Terceiro vetor ortogonal:
u3 = v3 - proju1(v3) - proju2(v3)
Calculando as projeções:
proju1(v3) = v3 cdot u1u1 cdot u1 u1 = 12 -1 1 0 0 0 = -0.5 0.5 0 0 0
proju2(v3) = v3 cdot u2u2 cdot u2 u2 = (-1)cdot0 + 0cdot0 + (-1)cdot1 + 0cdot1 + 1cdot02 0 0 1 1 0 = -12 0 0 1 1 0 = 0 0 -0.5 -0.5 0
Então:
u3 = v3 - proju1(v3) - proju2(v3) = -1 0 -1 0 1 - -0.5 0.5 0 0 0 - 0 0 -0.5 -0.5 0 = -0.5 -0.5 -0.5 0.5 1

Passo 9

Agora temos os vetores ortogonais u1, u2 e u3. O próximo passo é normalizar cada um deles para obter vetores de módulo 1.
  1. Normalizando u1:
|u1| = raiz(-1)^2 + 1^2 + 0^2 + 0^2 + 0^2 = raiz2
e1 = u1|u1| = 1raiz2 -1 1 0 0 0
  1. Normalizando u2:
|u2| = raiz0^2 + 0^2 + 1^2 + 1^2 + 0^2 = raiz2
e2 = u2|u2| = 1raiz2 0 0 1 1 0
  1. Normalizando u3:
|u3| = raiz(-0.5)^2 + (-0.5)^2 + (-0.5)^2 + 0.5^2 + 1^2 = raiz0.25 + 0.25 + 0.25 + 0.25 + 1 = raiz2
e3 = u3|u3| = 1raiz2 -0.5 -0.5 -0.5 0.5 1 = -12raiz2 -12raiz2 -12raiz2 12raiz2 1raiz2

Resposta

Então, uma base ortonormal para W é composta pelos vetores:
e1 = 1raiz2 -1 1 0 0 0 , e2 = 1raiz2 0 0 1 1 0 , e3 = 1raiz2 -0.5 -0.5 -0.5 0.5 1
Esses vetores são perpendiculares entre si e cada um tem módulo 1, formando assim uma base ortonormal para o espaço W.

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