Determinar a projeção ortogonal do vetor diretor da reta na direção do vetor normal ao plano .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar a projeção ortogonal do vetor diretor da reta na direção do vetor normal ao plano . Isso envolve conhecimentos de vetores, retas e planos no espaço tridimensional. Vamos precisar identificar os vetores envolvidos e usar a fórmula de projeção de um vetor sobre outro.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor diretor da reta . A reta é dada por:
Podemos reescrever isso nas equações paramétricas para facilitar:
Aqui, é o parâmetro. O vetor diretor da reta é, portanto, o vetor que multiplica o parâmetro , que é .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o vetor normal ao plano . O plano é dado pelas equações paramétricas:
Podemos escrever isso como:
Os vetores que definem o plano são e . O vetor normal ao plano é o produto vetorial desses dois vetores:

Passo 4

Com o vetor diretor da reta sendo e o vetor normal ao plano sendo , vamos calcular a projeção ortogonal de na direção de .
A fórmula para a projeção de em é:
Primeiro, calculamos o produto escalar :
Depois, calculamos :
Agora, aplicamos na fórmula:

Resposta

A projeção ortogonal do vetor diretor da reta na direção do vetor normal ao plano é:

Exercícios relacionados

Determinar a projeção ortogonal do vetor sob a reta .
Identifiar a cônica, achar a equação no ultima sistema de coordenadas utilizado:
(10 pontos)
Determine a posição relativa das retas e :
Ache, se possível, um matriz inversivel e um matriz diagonal tal que seja diagonal, onde
(10 pontos)