Determinar a projeção ortogonal do vetor diretor da reta na direção do vetor normal ao plano .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar a projeção ortogonal do vetor diretor da reta na direção do vetor normal ao plano . Isso envolve conhecimentos de vetores, retas e planos no espaço tridimensional. Vamos precisar identificar os vetores envolvidos e usar a fórmula de projeção de um vetor sobre outro.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor diretor da reta . A reta é dada por:
Podemos reescrever isso nas equações paramétricas para facilitar:
Aqui, é o parâmetro. O vetor diretor da reta é, portanto, o vetor que multiplica o parâmetro , que é .
Passo 3
Agora, vamos encontrar o vetor normal ao plano . O plano é dado pelas equações paramétricas:
Podemos escrever isso como:
Os vetores que definem o plano são e . O vetor normal ao plano é o produto vetorial desses dois vetores:
Passo 4
Com o vetor diretor da reta sendo e o vetor normal ao plano sendo , vamos calcular a projeção ortogonal de na direção de .
A fórmula para a projeção de em é:
Primeiro, calculamos o produto escalar :
Depois, calculamos :
Agora, aplicamos na fórmula:
Resposta
A projeção ortogonal do vetor diretor da reta na direção do vetor normal ao plano é: