Determinar a projeção ortogonal do vetor diretor da reta na direção do vetor normal ao plano .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar a projeção ortogonal do vetor diretor da reta na direção do vetor normal ao plano . Isso envolve conhecimentos de vetores, retas e planos no espaço tridimensional. Vamos precisar identificar os vetores envolvidos e usar a fórmula de projeção de um vetor sobre outro.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor diretor da reta 1 - x2 = y, z = -1 . A reta é dada por:
x = 1 - 2t y = t z = -1
Podemos reescrever isso nas equações paramétricas para facilitar:
Aqui, é o parâmetro. O vetor diretor da reta é, portanto, o vetor que multiplica o parâmetro , que é .
Passo 3
Agora, vamos encontrar o vetor normal ao plano x = 2alpha - beta + 1 y = 2alpha + beta - 1 z = alpha . O plano é dado pelas equações paramétricas:
r = (1, -1, 0) + alpha(2, 2, 1) + beta(-1, 1, 0)
Podemos escrever isso como:
n = v1 times v2 = i & j & k 2 & 2 & 1 -1 & 1 & 0 = (-1, -1, 4)
Os vetores que definem o plano são e . O vetor normal ao plano é o produto vetorial desses dois vetores:
Passo 4
Com o vetor diretor da reta projn u = ( u cdot nn cdot n ) n sendo u cdot n = (-2)(-1) + (1)(-1) + (0)(4) = 2 - 1 + 0 = 1 e o vetor normal ao plano n cdot n = (-1)^2 + (-1)^2 + 4^2 = 1 + 1 + 16 = 18 sendo projn u = ( 118 ) (-1, -1, 4) = ( -118, -118, 418 ) = ( -118, -118, 29 ) , vamos calcular a projeção ortogonal de na direção de .
A fórmula para a projeção de em é:
Primeiro, calculamos o produto escalar :
Depois, calculamos :
Agora, aplicamos na fórmula:
Resposta
A projeção ortogonal do vetor diretor da reta ( -dfrac118, -dfrac118, dfrac29 ) na direção do vetor normal ao plano é: