Ache a f'(5), dada a função f(x) = (x^2 - 1)^(3/2) * (x^2 - 4)^(1/2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema onde a gente precisa achar a derivada da função f(x) = (x^2 - 1)^(3/2) * (x^2 - 4)^(1/2) no ponto x = 5. A gente vai usar técnicas de cálculo, especificamente as regras de derivação como a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas partes da função que estão sendo multiplicadas:
Para derivar , vamos aplicar a regra do produto.

Passo 3

A regra do produto nos diz que a derivada de é:
Então, precisamos encontrar e .

Passo 4

Vamos encontrar usando a regra da cadeia. Para :

Passo 5

Agora, vamos encontrar também pela regra da cadeia. Para :

Passo 6

Agora substituímos e na fórmula da regra do produto:

Passo 7

Simplificando a expressão:

Passo 8

Agora, vamos substituir x = 5 na expressão de :
Calculando cada parte:

Passo 9

Vamos calcular os valores numéricos:
Então:
Calculando:

Resposta

Portanto, .

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