Determine os intervalos de crescimento e decrescimento, estude a concavidade, destaque 0 de inflcxão c csboce o gráfico da função

Passo 1

Então, nosso exercício pede para a gente analisar a função . Vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas, para descobrir onde a função está crescendo ou diminuindo, estudar a concavidade, encontrar pontos de inflexão e, por fim, esboçar o gráfico da função.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada , que nos ajuda a determinar onde a função está crescendo ou decrescendo. A derivada basicamente nos diz a inclinação da função em cada ponto.
A derivada de é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar onde a derivada é zero, pois esses pontos podem indicar onde a função muda de crescente para decrescente ou vice-versa. Para isso, resolvemos a equação :
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 3:
Essa é uma equação quadrática que podemos resolver por fatoração:
Então, e .

Passo 4

Com esses valores de , vamos determinar os intervalos de crescimento e decrescimento. Vamos escolher intervalos divididos pelos pontos críticos e :
Vamos escolher um valor de teste em cada intervalo e ver o sinal de .
  • Para , por exemplo :
Então, está crescendo nesse intervalo.
  • Para , por exemplo :
Então, está decrescendo nesse intervalo.
  • Para , por exemplo :
Então, está crescendo nesse intervalo.

Passo 5

Agora, vamos encontrar a segunda derivada , que nos ajuda a estudar a concavidade da função e encontrar pontos de inflexão. A segunda derivada basicamente nos diz se a curva está “virada para cima” ou “para baixo”.
A segunda derivada de é:

Passo 6

Vamos encontrar onde a segunda derivada é zero ou não existe, para identificar possíveis pontos de inflexão:

Passo 7

Agora, vamos determinar a concavidade nos intervalos definidos por :
Vamos escolher um valor de teste em cada intervalo:
  • Para , por exemplo :
Então, a função está concava para baixo nesse intervalo.
  • Para , por exemplo :
Então, a função está concava para cima nesse intervalo.
O ponto é um ponto de inflexão, onde a concavidade muda.

Passo 8

Finalmente, para esboçar o gráfico da função, vamos resumir as informações:
  • Intervalos de crescimento:
  • Intervalo de decrescimento:
  • Concavidade:
    • Concava para baixo em
    • Concava para cima em
  • Ponto de inflexão:
Vamos também encontrar o valor de para marcar o ponto de inflexão no gráfico:
Então, o ponto de inflexão é .

Resposta

A função está crescendo nos intervalos e , decrescendo no intervalo . A concavidade é para baixo quando e para cima quando , com um ponto de inflexão em . O gráfico reflete essas características, com mudanças na inclinação e concavidade nos pontos críticos identificados.

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O seguinte cálculo está correto? Justifique:
Analise se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas:
(1) A dcrivada da cquação ć .
Ache a , dada a função
Encontre as derivadas das seguintes funções: