Determine os intervalos de crescimento e decrescimento, estude a concavidade, destaque 0 de inflcxão c csboce o gráfico da função
Passo 1
Então, nosso exercício pede para a gente analisar a função
. Vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas, para descobrir onde a função está crescendo ou diminuindo, estudar a concavidade, encontrar pontos de inflexão e, por fim, esboçar o gráfico da função.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada
, que nos ajuda a determinar onde a função está crescendo ou decrescendo. A derivada basicamente nos diz a inclinação da função em cada ponto.
A derivada de
é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar onde a derivada é zero, pois esses pontos podem indicar onde a função muda de crescente para decrescente ou vice-versa. Para isso, resolvemos a equação
:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 3:
Essa é uma equação quadrática que podemos resolver por fatoração:
Então,
e
.
Passo 4
Com esses valores de
, vamos determinar os intervalos de crescimento e decrescimento. Vamos escolher intervalos divididos pelos pontos críticos
e
:
Vamos escolher um valor de teste em cada intervalo e ver o sinal de
.
- Para
, por exemplo :
Então,
está crescendo nesse intervalo.
- Para
, por exemplo :
Então,
está decrescendo nesse intervalo.
- Para
, por exemplo :
Então,
está crescendo nesse intervalo.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a segunda derivada
, que nos ajuda a estudar a concavidade da função e encontrar pontos de inflexão. A segunda derivada basicamente nos diz se a curva está “virada para cima” ou “para baixo”.
A segunda derivada de
é:
Passo 6
Vamos encontrar onde a segunda derivada é zero ou não existe, para identificar possíveis pontos de inflexão:
Passo 7
Agora, vamos determinar a concavidade nos intervalos definidos por
:
Vamos escolher um valor de teste em cada intervalo:
- Para
, por exemplo :
Então, a função está concava para baixo nesse intervalo.
- Para
, por exemplo :
Então, a função está concava para cima nesse intervalo.
O ponto
é um ponto de inflexão, onde a concavidade muda.
Passo 8
Finalmente, para esboçar o gráfico da função, vamos resumir as informações:
-
Intervalos de crescimento:
-
-
Intervalo de decrescimento:
-
-
Concavidade:
- Concava para baixo em
- Concava para cima em
- Concava para baixo em
-
Ponto de inflexão:
-
Vamos também encontrar o valor de
para marcar o ponto de inflexão no gráfico:
Então, o ponto de inflexão é
.
Resposta
A função
está crescendo nos intervalos
e
, decrescendo no intervalo
. A concavidade é para baixo quando
e para cima quando
, com um ponto de inflexão em
. O gráfico reflete essas características, com mudanças na inclinação e concavidade nos pontos críticos identificados.
Exercícios relacionados
O seguinte cálculo está correto? Justifique:
Analise se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas:
(1) A dcrivada da cquação ć
.
(1) A dcrivada da cquação
Ache a
, dada a função
Encontre as derivadas das seguintes funções: