O seguinte cálculo está correto? Justifique:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um limite envolvendo funções trigonométricas quando
se aproxima de
pela esquerda (ou seja, valores menores que
). Vamos precisar entender como as funções seno e cosseno se comportam perto de
e usar um pouco de cálculo de limites para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o limite dado:
O símbolo
indica que estamos considerando valores de
que se aproximam de
vindo da esquerda.
Passo 3
Vamos calcular os valores de e
:
Substituindo na expressão, temos:
Mas isso é apenas uma substituição direta. Vamos analisar o comportamento próximo de
.
Passo 4
Para entender melhor, vamos olhar para as derivadas do numerador e do denominador. Isso é útil quando temos uma forma indeterminada, como
, e é aí que a Regra de L’Hôpital entra.
A Regra de L’Hôpital diz que se
resulta em
ou
, então podemos calcular:
desde que esse novo limite exista.
Passo 5
Vamos aplicar a Regra de L’Hôpital ao nosso limite. Primeiramente, derivamos o numerador e o denominador:
Então, o limite se torna:
Passo 6
Agora, vamos analisar esse novo limite:
Sabemos que:
Mas, como
está se aproximando de
pela esquerda, está se aproximando de 0 a partir de valores positivos (já que seno é positivo antes de
).
Passo 7
Então, temos:
Isso significa que o limite é negativo infinito.
Resposta
Sim, o cálculo está correto. O limite é
.
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.
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.
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Ache a
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