O seguinte cálculo está correto? Justifique:

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um limite envolvendo funções trigonométricas quando se aproxima de pela esquerda (ou seja, valores menores que ). Vamos precisar entender como as funções seno e cosseno se comportam perto de e usar um pouco de cálculo de limites para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o limite dado:
O símbolo indica que estamos considerando valores de que se aproximam de vindo da esquerda.

Passo 3

Vamos calcular os valores de e :
Substituindo na expressão, temos:
Mas isso é apenas uma substituição direta. Vamos analisar o comportamento próximo de .

Passo 4

Para entender melhor, vamos olhar para as derivadas do numerador e do denominador. Isso é útil quando temos uma forma indeterminada, como , e é aí que a Regra de L’Hôpital entra.
A Regra de L’Hôpital diz que se resulta em ou , então podemos calcular:
desde que esse novo limite exista.

Passo 5

Vamos aplicar a Regra de L’Hôpital ao nosso limite. Primeiramente, derivamos o numerador e o denominador:
Então, o limite se torna:

Passo 6

Agora, vamos analisar esse novo limite:
Sabemos que:
Mas, como está se aproximando de pela esquerda, está se aproximando de 0 a partir de valores positivos (já que seno é positivo antes de ).

Passo 7

Então, temos:
Isso significa que o limite é negativo infinito.

Resposta

Sim, o cálculo está correto. O limite é .

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Analise se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas:
(1) A dcrivada da cquação ć .
Analise se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas:
( A derivada da função é .
Determine os intervalos de crescimento e decrescimento, estude a concavidade, destaque 0 de inflcxão c csboce o gráfico da função
Ache a , dada a função