O seguinte cálculo está correto? Justifique:
lim x pi^- sen(x)1-cos (x)=lim x pi^- cos (x)sen(x)=-infty

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um limite envolvendo funções trigonométricas quando se aproxima de pela esquerda (ou seja, valores menores que ). Vamos precisar entender como as funções seno e cosseno se comportam perto de e usar um pouco de cálculo de limites para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o limite dado:
O símbolo lim x pi^- sen(x)1 - cos(x) indica que estamos considerando valores de que se aproximam de vindo da esquerda.

Passo 3

Vamos calcular os valores de e sen(pi) = 0 e cos(pi) = -1 :
Substituindo na expressão, temos:
Mas isso é apenas uma substituição direta. Vamos analisar o comportamento próximo de sen(pi)1 - cos(pi) = 01 - (-1) = 02 = 0 .

Passo 4

Para entender melhor, vamos olhar para as derivadas do numerador e do denominador. Isso é útil quando temos uma forma indeterminada, como limx to a f'(x)g'(x) , e é aí que a Regra de L’Hôpital entra.
A Regra de L’Hôpital diz que se resulta em ou , então podemos calcular:
desde que esse novo limite exista.

Passo 5

Vamos aplicar a Regra de L’Hôpital ao nosso limite. Primeiramente, derivamos o numerador e o denominador:
Então, o limite se torna:

Passo 6

Agora, vamos analisar esse novo limite:
Sabemos que:
Mas, como lim x pi^- cos(x)sen(x) está se aproximando de cos(pi) = -1 e sen(pi) = 0 pela esquerda, está se aproximando de 0 a partir de valores positivos (já que seno é positivo antes de ).

Passo 7

Então, temos:
Isso significa que o limite é negativo infinito.

Resposta

Sim, o cálculo está correto. O limite é .

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