Ache a projeção ortogonal do vetor w sobre o vetor v nos casos:
lll (b) & w=(-1,1,1), & v=(-2,1,2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de projeção vetorial! A gente precisa encontrar a projeção ortogonal do vetor w = (-1, 1, 1) sobre o vetor v = (-2, 1, 2). Isso faz parte da matéria de Álgebra Vetorial, especificamente trabalhando com projeções de vetores. Para isso, vamos precisar usar a fórmula da projeção vetorial e calcular produtos internos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para a projeção de w sobre v:
projv,w = ( w cdot vv cdot v ) v
Aqui, w cdot v é o produto interno (ou escalar) dos vetores, e v cdot v é o produto interno de v com ele mesmo, que também é o quadrado do comprimento de v.

Passo 3

Vamos calcular o produto interno w cdot v:
w cdot v = (-1)(-2) + (1)(1) + (1)(2) = 2 + 1 + 2 = 5

Passo 4

Agora, calculamos o produto interno v cdot v:
v cdot v = (-2)^2 + 1^2 + 2^2 = 4 + 1 + 4 = 9

Passo 5

Com esses valores, podemos substituir na fórmula da projeção:
projv,w = ( 59 ) v

Passo 6

Finalmente, multiplicamos o escalar 59 pelo vetor v:
projv,w = ( 59 ) cdot (-2, 1, 2) = ( 59 times -2, 59 times 1, 59 times 2 ) = ( -109, 59, 109 )

Resposta

A projeção ortogonal de w sobre v é ( -109, 59, 109 ).

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