Determine a dimensão, o núcleo e a imagem das seguintes transformações. ;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para determinar a dimensão, o núcleo e a imagem de uma transformação linear definida por . A gente vai usar conceitos de Álgebra Linear, como núcleo (ou kernel), imagem, e dimensão de espaços vetoriais. Vamos precisar montar a matriz dessa transformação e analisar suas propriedades.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a matriz associada à transformação . Cada coluna dessa matriz corresponde à imagem dos vetores da base canônica de através de .
Então, a matriz de é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o núcleo de 0 = 0 x + 2y + z = 0 - x = 0 , que é o conjunto de todos os vetores 0 + 2y + z = 0 implies 2y + z = 0 implies z = -2y em que satisfazem . Isso significa resolver o sistema de equações lineares:
Da terceira equação, temos . Substituindo na segunda equação:
Então, os vetores do núcleo são da forma , onde é real.
Passo 4
Agora, vamos determinar a imagem de 0 1 -1 , 0 2 0 , 0 1 0 , que é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos como 0 1 0 = 12 0 2 0 para algum em . Observando a matriz , podemos ver que as colunas são:
Vamos verificar a dependência linear dessas colunas. Observamos que a terceira coluna é igual à metade da segunda coluna:
Então, as colunas são linearmente dependentes, e a imagem de é gerada pelas duas primeiras colunas e .
Passo 5
Para encontrar a dimensão da imagem, que chamamos de posto de dimensão do domínio = posto + nulidade , contamos o número de vetores linearmente independentes que geram a imagem. Já que as duas colunas que identificamos são linearmente independentes, a dimensão da imagem é 2.
Já que sabemos que estamos trabalhando em , podemos usar o teorema do posto e da nulidade, que diz:
ãí
Aqui, a dimensão do domínio é 3, o posto é 2 (imagem), então a nulidade (dimensão do núcleo) é 1, o que confirma o que encontramos no Passo 3.
Resposta
A dimensão da transformação é 2. O núcleo de é o conjunto dos vetores da forma , ou seja, ú. A imagem de é o subespaço gerado pelos vetores e .