Sejam e vetores tais que e são unitários, o ângulo e . Calcule:
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício! A gente tem três vetores: , e . Sabemos que:
O módulo de é 4, ou seja, .
e são vetores unitários, então .
O ângulo entre e é .
O produto misto .
Vamos precisar usar conceitos de produto vetorial e produto misto para calcular .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o produto vetorial entre dois vetores, , gera um vetor perpendicular aos dois vetores originais. O módulo desse produto é dado por:
onde é o ângulo entre e .
Passo 3
Vamos calcular usando os valores que temos:
Portanto:
Passo 4
Agora, queremos calcular . Substituindo:
onde é o vetor unitário na direção de .
Passo 5
Para facilitar, vamos fatorar o 2:
Então, precisamos calcular .
Passo 6
Sabemos que e são vetores unitários. O módulo da diferença de dois vetores unitários é dado por:
onde é o ângulo entre e .
Passo 7
Para achar , usamos o produto misto dado:
onde é o ângulo entre e .
Passo 8
Sabemos que tem módulo , onde é o ângulo entre e . Mas como não precisamos do ângulo direto, podemos relacionar com o produto misto já conhecido.
Passo 9
Considerando que é perpendicular a e , e usando o produto misto, podemos estabelecer que .