Sejam u, v e w vetores tais que |u|=4, v e w são unitários, o ângulo theta=ang(u, v)=30^circ e [u, v, w]=12. Calcule:
(b) |u wed>= v-2 w|

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício! A gente tem três vetores: u, v e w. Sabemos que:
  • O módulo de u é 4, ou seja, |u| = 4.
  • v e w são vetores unitários, então |v| = |w| = 1.
  • O ângulo entre u e v é 30^circ.
  • O produto misto [u, v, w] = 12.
Vamos precisar usar conceitos de produto vetorial e produto misto para calcular |u wed>= v - 2 w|.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o produto vetorial entre dois vetores, u times v, gera um vetor perpendicular aos dois vetores originais. O módulo desse produto é dado por:
|u times v| = |u| cdot |v| cdot sin(theta)
onde theta é o ângulo entre u e v.

Passo 3

Vamos calcular |u times v| usando os valores que temos:
|u| = 4, |v| = 1, theta = 30^circ
Portanto:
|u times v| = 4 cdot 1 cdot sin(30^circ) = 4 cdot 12 = 2

Passo 4

Agora, queremos calcular |u wed>= v - 2 w|. Substituindo:
|u times v - 2 w| = |2 n - 2 w|
onde n é o vetor unitário na direção de u times v.

Passo 5

Para facilitar, vamos fatorar o 2:
|2 (n - w)| = 2 cdot |n - w|
Então, precisamos calcular |n - w|.

Passo 6

Sabemos que n e w são vetores unitários. O módulo da diferença de dois vetores unitários é dado por:
|n - w| = raiz2 - 2 cos(alpha)
onde alpha é o ângulo entre n e w.

Passo 7

Para achar cos(alpha), usamos o produto misto dado:
[u, v, w] = 12 = u cdot (v times w) = |u| cdot |v times w| cdot cos(phi)
onde phi é o ângulo entre u e v times w.

Passo 8

Sabemos que v times w tem módulo |v| cdot |w| cdot sin(beta) = 1 cdot 1 cdot sin(beta), onde beta é o ângulo entre v e w. Mas como não precisamos do ângulo direto, podemos relacionar com o produto misto já conhecido.

Passo 9

Considerando que n é perpendicular a u e v, e usando o produto misto, podemos estabelecer que cos(alpha) = [u, v, w]|u times v| cdot |w| = 122 cdot 1 = 14.

Passo 10

Agora substituímos cos(alpha) = 14 na expressão de |n - w|:
|n - w| = raiz2 - 2 cdot 14 = raiz2 - 12 = raiz32 = raiz62

Passo 11

Voltando à expressão anterior:
|u times v - 2 w| = 2 cdot raiz62 = raiz6

Resposta

O módulo |u wed>= v - 2 w| é igual a raiz6.

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