Sejam
e
vetores tais que
e
são unitários, o ângulo
e
. Calcule:
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício! A gente tem três vetores:
,
e
. Sabemos que:
- O módulo de
é 4, ou seja, . -
e são vetores unitários, então . - O ângulo entre
e é . - O produto misto
.
Vamos precisar usar conceitos de produto vetorial e produto misto para calcular
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o produto vetorial entre dois vetores,
, gera um vetor perpendicular aos dois vetores originais. O módulo desse produto é dado por:
onde
é o ângulo entre
e
.
Passo 3
Vamos calcular
usando os valores que temos:
Portanto:
Passo 4
Agora, queremos calcular
. Substituindo:
onde
é o vetor unitário na direção de
.
Passo 5
Para facilitar, vamos fatorar o 2:
Então, precisamos calcular
.
Passo 6
Sabemos que
e
são vetores unitários. O módulo da diferença de dois vetores unitários é dado por:
onde
é o ângulo entre
e
.
Passo 7
Para achar
, usamos o produto misto dado:
onde
é o ângulo entre
e
.
Passo 8
Sabemos que
tem módulo
, onde
é o ângulo entre
e
. Mas como não precisamos do ângulo direto, podemos relacionar com o produto misto já conhecido.
Passo 9
Considerando que
é perpendicular a
e
, e usando o produto misto, podemos estabelecer que
.
Passo 10
Agora substituímos
na expressão de
:
Passo 11
Voltando à expressão anterior:
Resposta
O módulo
é igual a
.