Descreva o conjunto solução da equação x cdot(i+j-k)=0, sabendo que B=(i, j, k) é uma base ortonormal.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação x cdot (i + j - k) = 0, e sabe que B = (i, j, k) é uma base ortonormal. Isso está dentro da matéria de Álgebra Linear, especialmente envolvendo produtos internos (ou produto escalar) e espaços vetoriais. Para resolver, vamos precisar entender o que significa o produto escalar ser igual a zero e como isso define o conjunto solução.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que qualquer vetor x no espaço pode ser escrito em termos da base ortonormal B como x = x1 i + x2 j + x3 k, onde x1, x2 e x3 são números reais que representam as componentes do vetor.

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto escalar x cdot (i + j - k). O produto escalar de dois vetores a = a1 i + a2 j + a3 k e b = b1 i + b2 j + b3 k é dado por:
a cdot b = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3
Aplicando isso ao nosso caso:
x cdot (i + j - k) = x1 cdot 1 + x2 cdot 1 + x3 cdot (-1) = x1 + x2 - x3

Passo 4

A equação que temos é igual a zero:
x1 + x2 - x3 = 0
Isso significa que a soma das componentes x1 e x2, menos x3, deve ser igual a zero.

Passo 5

Podemos rearranjar essa equação para expressar uma das variáveis em termos das outras. Vamos resolver para x3:
x3 = x1 + x2

Passo 6

Assim, qualquer vetor x que satisfaça a equação dada pode ser escrito como:
x = x1 i + x2 j + (x1 + x2) k
Aqui, x1 e x2 podem ser quaisquer números reais, o que significa que o conjunto solução é formado por todos os vetores que podem ser expressos dessa forma.

Resposta

O conjunto solução da equação x cdot (i + j - k) = 0 é o conjunto de todos os vetores do tipo x = x1 i + x2 j + (x1 + x2) k, onde x1 e x2 são números reais. Geometricamente, isso representa um plano no espaço tridimensional definido pela equação x3 = x1 + x2.

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