Descreva o conjunto solução da equação
, sabendo que
é uma base ortonormal.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a equação
, e sabe que
é uma base ortonormal. Isso está dentro da matéria de Álgebra Linear, especialmente envolvendo produtos internos (ou produto escalar) e espaços vetoriais. Para resolver, vamos precisar entender o que significa o produto escalar ser igual a zero e como isso define o conjunto solução.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que qualquer vetor
no espaço pode ser escrito em termos da base ortonormal
como
, onde
,
e
são números reais que representam as componentes do vetor.
Passo 3
Agora, vamos calcular o produto escalar
. O produto escalar de dois vetores
e
é dado por:
Aplicando isso ao nosso caso:
Passo 4
A equação que temos é igual a zero:
Isso significa que a soma das componentes
e
, menos
, deve ser igual a zero.
Passo 5
Podemos rearranjar essa equação para expressar uma das variáveis em termos das outras. Vamos resolver para
:
Passo 6
Assim, qualquer vetor
que satisfaça a equação dada pode ser escrito como:
Aqui,
e
podem ser quaisquer números reais, o que significa que o conjunto solução é formado por todos os vetores que podem ser expressos dessa forma.
Resposta
O conjunto solução da equação
é o conjunto de todos os vetores do tipo
, onde
e
são números reais. Geometricamente, isso representa um plano no espaço tridimensional definido pela equação
.
Exercícios relacionados
Determine a dimensão, o núcleo e a imagem das seguintes transformações.
;
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Ache a projeção ortogonal do vetor
sobre o vetor
nos casos: