Ache a projeção ortogonal do vetor w sobre o vetor v nos casos:
lll (a) & w=(1,-1,2), & v=(3,-1,1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para achar a projeção ortogonal do vetor w sobre o vetor v. Isso faz parte da matéria de Álgebra Vetorial, especificamente sobre projeções de vetores. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a projeção usando o produto escalar (ou produto interno) dos vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para a projeção ortogonal de um vetor w sobre outro vetor v. A projeção é dada por:
projv(w) = ( w cdot vv cdot v ) v
Aqui, w cdot v representa o produto escalar entre w e v, e v cdot v é o produto escalar de v consigo mesmo, que também é igual ao quadrado do comprimento de v.

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar w cdot v. Com os vetores dados:
w = (1, -1, 2) v = (3, -1, 1)
O produto escalar é calculado assim:
w cdot v = (1)(3) + (-1)(-1) + (2)(1) = 3 + 1 + 2 = 6

Passo 4

Agora, vamos calcular v cdot v:
v cdot v = (3)(3) + (-1)(-1) + (1)(1) = 9 + 1 + 1 = 11

Passo 5

Com esses resultados, podemos substituir na fórmula da projeção:
projv(w) = ( 611 ) v = ( 611 ) (3, -1, 1)

Passo 6

Finalmente, vamos multiplicar o escalar 611 por cada componente do vetor v:
projv(w) = ( 1811, -611, 611 )

Resposta

A projeção ortogonal do vetor w sobre o vetor v é:
projv(w) = ( 1811, -611, 611 )

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