Calcule a área do quadrilátero cujos vértices são (1,1),(0,5),(-1,-3),(7,0).

Passo 1

Beleza, vamos calcular a área de um quadrilátero cujos vértices estão nos pontos (1,1), (0,5), (-1,-3) e (7,0). A matéria que vamos usar aqui é a Geometria Analítica, especificamente a fórmula de Shoelace (ou fórmula do sapateiro), que é super útil para achar áreas de polígonos quando conhecemos as coordenadas dos vértices. Então, vamos precisar listar os pontos na ordem certa e aplicar essa fórmula para descobrir a área.

Passo 2

Primeiro, vamos listar os pontos na ordem em que eles estão conectados para formar o quadrilátero. Vamos organizar os vértices em sentido horário ou anti-horário:
  1. (1,1)
  2. (0,5)
  3. (-1,-3)
  4. (7,0)
E para fechar o polígono, repetimos o primeiro ponto no final:
  1. (1,1)

Passo 3

Agora, vamos aplicar a fórmula de Shoelace. Essa fórmula diz que a área A de um polígono com vértices (x1,y1), (x2,y2), dots, (xn,yn) é dada por:
A = 12 | sumi=1^n (xi yi+1 - xi+1 yi) |
Onde (xn+1, yn+1) = (x1, y1).

Passo 4

Vamos calcular os produtos cruzados seguindo a ordem dos pontos:
x1 y2 &= 1 times 5 = 5 x2 y3 &= 0 times (-3) = 0 x3 y4 &= (-1) times 0 = 0 x4 y5 &= 7 times 1 = 7
Agora, somamos esses resultados:
5 + 0 + 0 + 7 = 12
Em seguida, calculamos os produtos na outra direção:
y1 x2 &= 1 times 0 = 0 y2 x3 &= 5 times (-1) = -5 y3 x4 &= (-3) times 7 = -21 y4 x5 &= 0 times 1 = 0
Somando esses resultados:
0 + (-5) + (-21) + 0 = -26

Passo 5

Agora, pegamos a diferença entre as duas somas e aplicamos o valor absoluto:
| 12 - (-26) | = | 38 | = 38
Por fim, multiplicamos por 12 para encontrar a área:
A = 12 times 38 = 19

Resposta

A área do quadrilátero é 19 unidades de área.

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