A medida angular em radianos entre os vetores u e v é pi / 6, a norma de u é raiz6 e a norma de v é raiz2. Determine o cosseno do ângulo entre u-2 v e 2 u-v.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver um exercício de álgebra vetorial. A gente tem dois vetores, u e v, com um ângulo de pi/6 entre eles. As normas (ou magnitudes) desses vetores são raiz6 e raiz2, respectivamente. Queremos descobrir o cosseno do ângulo entre os vetores u - 2v e 2u - v. Para isso, vamos precisar usar o produto escalar e as propriedades dos vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que o cosseno do ângulo entre dois vetores a e b é dado por:
cos(theta) = a cdot b||a|| , ||b||
Então, nosso objetivo é encontrar a cdot b e as normas de a e b, onde a = u - 2v e b = 2u - v.

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar a cdot b:
a cdot b = (u - 2v) cdot (2u - v) = 2u cdot u - u cdot v - 4v cdot u + 2v cdot v
Sabemos que u cdot u = ||u||^2 = (raiz6)^2 = 6, e v cdot v = ||v||^2 = (raiz2)^2 = 2. Também, u cdot v = ||u|| , ||v|| cos(pi/6) = raiz6 times raiz2 times raiz32 = raiz12 times raiz32 = 2raiz3 times raiz32 = 3.
Portanto:
a cdot b = 2(6) - 3 - 4(3) + 2(2) = 12 - 3 - 12 + 4 = 1

Passo 4

Agora, vamos calcular as normas de a e b. Primeiro, para a = u - 2v:
||a||^2 = (u - 2v) cdot (u - 2v) = u cdot u - 4u cdot v + 4v cdot v = 6 - 4(3) + 4(2) = 6 - 12 + 8 = 2
Então, ||a|| = raiz2.
Para b = 2u - v:
||b||^2 = (2u - v) cdot (2u - v) = 4u cdot u - 4u cdot v + v cdot v = 4(6) - 4(3) + 2 = 24 - 12 + 2 = 14
Então, ||b|| = raiz14.

Passo 5

Agora que temos o produto escalar e as normas, vamos usar a fórmula do cosseno:
cos(theta) = a cdot b||a|| , ||b|| = 1raiz2 times raiz14 = 1raiz28 = 12raiz7 = raiz714

Resposta

O cosseno do ângulo entre u - 2v e 2u - v é dfracraiz714.

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