Se u+v+w=0,|u|=32,|v|=12 e |w|=2, calcule u cdot v+v cdot w+w cdot u.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem três vetores u, v e w que somados dão o vetor nulo, ou seja, u + v + w = 0. Sabemos também as normas desses vetores: |u| = 32, |v| = 12 e |w| = 2. Nosso objetivo é calcular a soma dos produtos internos desses vetores: u cdot v + v cdot w + w cdot u. Para isso, vamos usar propriedades de vetores e produto interno.

Passo 2

Primeiro, vamos aproveitar a relação u + v + w = 0. Se somarmos esses vetores e o resultado é o vetor nulo, podemos tirar uma conclusão interessante: a soma dos vetores forma um triângulo fechado. Agora, vamos calcular o quadrado da norma dessa soma.

Passo 3

Calculando o quadrado da norma de u + v + w, temos:
|u + v + w|^2 = (u + v + w) cdot (u + v + w)
Como u + v + w = 0, o lado esquerdo da equação é zero:
0 = |u|^2 + |v|^2 + |w|^2 + 2(u cdot v + v cdot w + w cdot u)

Passo 4

Agora, vamos isolar a soma dos produtos internos que queremos encontrar:
2(u cdot v + v cdot w + w cdot u) = -(|u|^2 + |v|^2 + |w|^2)
Dividindo ambos os lados por 2:
u cdot v + v cdot w + w cdot u = -12(|u|^2 + |v|^2 + |w|^2)

Passo 5

Vamos substituir as normas conhecidas na equação:
u cdot v + v cdot w + w cdot u = -12((32)^2 + (12)^2 + (2)^2)
Calculando os quadrados:
= -12(94 + 14 + 4)
Somando os termos dentro do parênteses:
= -12(104 + 4) = -12(104 + 164) = -12(264)

Resposta

Portanto, a soma dos produtos internos é:
u cdot v + v cdot w + w cdot u = -134

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