Se e , calcule .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem três vetores , e que somados dão o vetor nulo, ou seja, . Sabemos também as normas desses vetores: , e . Nosso objetivo é calcular a soma dos produtos internos desses vetores: . Para isso, vamos usar propriedades de vetores e produto interno.

Passo 2

Primeiro, vamos aproveitar a relação . Se somarmos esses vetores e o resultado é o vetor nulo, podemos tirar uma conclusão interessante: a soma dos vetores forma um triângulo fechado. Agora, vamos calcular o quadrado da norma dessa soma.

Passo 3

Calculando o quadrado da norma de , temos:
Como , o lado esquerdo da equação é zero:

Passo 4

Agora, vamos isolar a soma dos produtos internos que queremos encontrar:
Dividindo ambos os lados por 2:

Passo 5

Vamos substituir as normas conhecidas na equação:
Calculando os quadrados:
Somando os termos dentro do parênteses:

Resposta

Portanto, a soma dos produtos internos é:

Exercícios relacionados

Ache a projeção ortogonal do vetor sobre o vetor nos casos:
Encontre os coordenadas dos pontos que dividem o segmento que une os pontos e em três partes iguais.
A medida angular em radianos entre os vetores e é , a norma de é e a norma de é . Determine o cosseno do ângulo entre e .