Se
e
, calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem três vetores
,
e
que somados dão o vetor nulo, ou seja,
. Sabemos também as normas desses vetores:
,
e
. Nosso objetivo é calcular a soma dos produtos internos desses vetores:
. Para isso, vamos usar propriedades de vetores e produto interno.
Passo 2
Primeiro, vamos aproveitar a relação
. Se somarmos esses vetores e o resultado é o vetor nulo, podemos tirar uma conclusão interessante: a soma dos vetores forma um triângulo fechado. Agora, vamos calcular o quadrado da norma dessa soma.
Passo 3
Calculando o quadrado da norma de
, temos:
Como
, o lado esquerdo da equação é zero:
Passo 4
Agora, vamos isolar a soma dos produtos internos que queremos encontrar:
Dividindo ambos os lados por 2:
Passo 5
Vamos substituir as normas conhecidas na equação:
Calculando os quadrados:
Somando os termos dentro do parênteses:
Resposta
Portanto, a soma dos produtos internos é:
Exercícios relacionados
Ache a projeção ortogonal do vetor
sobre o vetor
nos casos:
Encontre os coordenadas dos pontos que dividem o segmento que une os pontos
e
em três partes iguais.
A medida angular em radianos entre os vetores
e
é
, a norma de
é
e a norma de
é
. Determine o cosseno do ângulo entre
e
.