Encontre os coordenadas dos pontos que dividem o segmento que une os pontos A=(2,7,1) e B= (8,-2,5) em três partes iguais.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as coordenadas dos pontos que dividem o segmento que une os pontos e em três partes iguais. Isso está relacionado com o conceito de divisão de segmentos no espaço tridimensional. Para isso, vamos usar a fórmula de divisão interna para encontrar as coordenadas dos pontos desejados.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como dividir um segmento em partes iguais. Se queremos dividir o segmento em três partes iguais, isso significa que teremos dois pontos de divisão: um que divide na razão 1:2 e outro que divide na razão 2:1.

Passo 3

Vamos chamar os pontos que queremos encontrar de e . O ponto vai dividir na razão 1:2, e o ponto na razão 2:1.

Passo 4

A fórmula para encontrar as coordenadas de um ponto que divide um segmento na razão P = ( m x2 + n x1m + n, m y2 + n y1m + n, m z2 + n z1m + n ) é:
Onde e .

Passo 5

Vamos aplicar essa fórmula para encontrar primeiro o ponto P = ( 1 cdot 8 + 2 cdot 21 + 2, 1 cdot (-2) + 2 cdot 71 + 2, 1 cdot 5 + 2 cdot 11 + 2 ) que divide na razão 1:2.

Passo 6

Calculando cada coordenada de xP = 8 + 43 = 123 = 4 :
yP = -2 + 143 = 123 = 4
zP = 5 + 23 = 73 approx 2,33
Então, .

Passo 7

Agora, vamos encontrar o ponto Q = ( 2 cdot 8 + 1 cdot 22 + 1, 2 cdot (-2) + 1 cdot 72 + 1, 2 cdot 5 + 1 cdot 12 + 1 ) que divide na razão 2:1.

Passo 8

Calculando cada coordenada de xQ = 16 + 23 = 183 = 6 :
yQ = -4 + 73 = 33 = 1
zQ = 10 + 13 = 113 approx 3,67
Então, .

Resposta

Os pontos que dividem o segmento em três partes iguais são e .

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