Ache os quatro primeiros termos não nulos da expansão em série de potências de
Qual o intervalo de convergência da expansão em série de potencias desta integral?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os quatro primeiros termos não nulos da expansão em série de potências da integral
e também descobrir qual é o intervalo de convergência dessa série. Para isso, vamos usar conceitos de séries de Taylor e integração termo a termo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como expandir a função
em uma série de potências. Sabemos que a série de Taylor para
em torno de
é:
Aqui, substituímos
por
:
Passo 3
Agora, vamos integrar essa série termo a termo de
a
:
A gente pode trocar a integral e a soma porque a série converge uniformemente no intervalo considerado.
Passo 4
Vamos calcular a integral
:
Então, substituindo de volta na série:
Passo 5
Agora, vamos listar os quatro primeiros termos não nulos dessa série. Vamos calcular para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 6
Por fim, vamos determinar o intervalo de convergência da série. Observamos que a série original de
é toda convergente para qualquer valor de
real, já que o expoente é uma função polinomial. Quando integramos termo a termo, o intervalo de convergência permanece o mesmo. Portanto, a série converge para todo
.
Resposta
Os quatro primeiros termos não nulos da expansão em série de potências de
são:
E o intervalo de convergência dessa série é
.
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como uma série de potências em torno do ponto
.
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em torno de
.
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em torno de
.
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