Ache os quatro primeiros termos não nulos da expansão em série de potências de
integral0^x e^-t^2 d t
Qual o intervalo de convergência da expansão em série de potencias desta integral?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os quatro primeiros termos não nulos da expansão em série de potências da integral e também descobrir qual é o intervalo de convergência dessa série. Para isso, vamos usar conceitos de séries de Taylor e integração termo a termo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como expandir a função e^u = sumn=0^infty u^nn! em uma série de potências. Sabemos que a série de Taylor para e^-t^2 = sumn=0^infty (-t^2)^nn! = sumn=0^infty (-1)^n t^2nn! em torno de é:
Aqui, substituímos por :

Passo 3

Agora, vamos integrar essa série termo a termo de integral0^x e^-t^2 dt = integral0^x sumn=0^infty (-1)^n t^2nn! dt = sumn=0^infty (-1)^nn! integral0^x t^2n dt a :
A gente pode trocar a integral e a soma porque a série converge uniformemente no intervalo considerado.

Passo 4

Vamos calcular a integral integral0^x t^2n dt = [ t^2n+12n+1 ]0^x = x^2n+12n+1 :
integral0^x e^-t^2 dt = sumn=0^infty (-1)^n x^2n+1n!(2n+1)
Então, substituindo de volta na série:

Passo 5

Agora, vamos listar os quatro primeiros termos não nulos dessa série. Vamos calcular para (-1)^0 x^10!(1) = x :
  • Para (-1)^1 x^31!(3) = -x^33 :
(-1)^2 x^52!(5) = x^510
  • Para (-1)^3 x^73!(7) = -x^742 :
  • Para :
  • Para :

Passo 6

Por fim, vamos determinar o intervalo de convergência da série. Observamos que a série original de é toda convergente para qualquer valor de real, já que o expoente é uma função polinomial. Quando integramos termo a termo, o intervalo de convergência permanece o mesmo. Portanto, a série converge para todo .

Resposta

Os quatro primeiros termos não nulos da expansão em série de potências de x - x^33 + x^510 - x^742 são:
E o intervalo de convergência dessa série é .

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