Ache os quatro primeiros termos não nulos da expansão em série de potências de
Qual o intervalo de convergência da expansão em série de potencias desta integral?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os quatro primeiros termos não nulos da expansão em série de potências da integral e também descobrir qual é o intervalo de convergência dessa série. Para isso, vamos usar conceitos de séries de Taylor e integração termo a termo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como expandir a função em uma série de potências. Sabemos que a série de Taylor para em torno de é:
Aqui, substituímos por :

Passo 3

Agora, vamos integrar essa série termo a termo de a :
A gente pode trocar a integral e a soma porque a série converge uniformemente no intervalo considerado.

Passo 4

Vamos calcular a integral :
Então, substituindo de volta na série:

Passo 5

Agora, vamos listar os quatro primeiros termos não nulos dessa série. Vamos calcular para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Passo 6

Por fim, vamos determinar o intervalo de convergência da série. Observamos que a série original de é toda convergente para qualquer valor de real, já que o expoente é uma função polinomial. Quando integramos termo a termo, o intervalo de convergência permanece o mesmo. Portanto, a série converge para todo .

Resposta

Os quatro primeiros termos não nulos da expansão em série de potências de são:
E o intervalo de convergência dessa série é .

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