Encontre uma solução em série de potências da equação de Airy
em torno de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de Airy que é
. Nosso objetivo aqui é encontrar uma solução em série de potências ao redor de
. Para isso, vamos usar o método das séries de potências, que envolve assumir que a solução pode ser representada como uma soma de potências de
.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a solução
pode ser escrita como uma série de potências centrada em
:
Aqui,
são os coeficientes que precisamos encontrar.
Passo 3
Agora, vamos calcular as primeiras e segundas derivadas de
:
Passo 4
Substituímos
e
na equação de Airy:
Para simplificar, vamos ajustar os índices das somas para que fiquem todas com a mesma potência de
. Depois de ajustar, igualamos os coeficientes de cada potência de
a zero, o que nos dará uma relação de recorrência para os coeficientes
.
Passo 5
Após igualar os coeficientes, obtemos uma fórmula que relaciona
com
:
Isso significa que, conhecendo
e
(que são determinados pelas condições iniciais), podemos encontrar todos os demais coeficientes da série.
Resposta
A solução em série de potências da equação de Airy
em torno de
é dada por:
onde os coeficientes
são determinados pela relação de recorrência
e
são constantes arbitrárias definidas pelas condições iniciais.
Exercícios relacionados
Encontre a solução de cada uma das seguintes equações:
.
Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada e indique com setas a direção na qual o parâmetro cresce
e)
e)
Exprima a solução geral da equação
como uma série de potências em torno do ponto
.
Ache os quatro primeiros termos não nulos da expansão em série de potências de
Qual o intervalo de convergência da expansão em série de potencias desta integral?