Encontre uma solução em série de potências da equação de Airy
y'' - x y = 0, -infinito < x < infinito
em torno de x = 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de Airy que é . Nosso objetivo aqui é encontrar uma solução em série de potências ao redor de . Para isso, vamos usar o método das séries de potências, que envolve assumir que a solução pode ser representada como uma soma de potências de .

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a solução pode ser escrita como uma série de potências centrada em :
Aqui, são os coeficientes que precisamos encontrar.

Passo 3

Agora, vamos calcular as primeiras e segundas derivadas de :

Passo 4

Substituímos e na equação de Airy:
Para simplificar, vamos ajustar os índices das somas para que fiquem todas com a mesma potência de . Depois de ajustar, igualamos os coeficientes de cada potência de a zero, o que nos dará uma relação de recorrência para os coeficientes .

Passo 5

Após igualar os coeficientes, obtemos uma fórmula que relaciona com :
Isso significa que, conhecendo e (que são determinados pelas condições iniciais), podemos encontrar todos os demais coeficientes da série.

Resposta

A solução em série de potências da equação de Airy em torno de é dada por:
onde os coeficientes são determinados pela relação de recorrência e são constantes arbitrárias definidas pelas condições iniciais.

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