Exprima a solução geral da equação
como uma série de potências em torno do ponto
.
Passo 1
Então, temos que resolver a equação diferencial
usando uma série de potências em torno de
. Isso está dentro do estudo de equações diferenciais lineares e séries de potências. Vamos precisar assumir que a solução pode ser expressa como uma série de potências e determinar os coeficientes dessa série.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a solução
pode ser escrita como uma série de potências centrada em 0:
Aqui,
são os coeficientes que precisamos encontrar.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de
:
Passo 4
Substituímos
e
na equação diferencial
:
Passo 5
Vamos ajustar os índices para que ambas as séries tenham potências de
:
Passo 6
Agora, combinamos as séries:
Passo 7
Para que essa igualdade seja válida para todo
, os coeficientes de cada potência de
devem ser iguais a zero:
Passo 8
Essa é uma relação de recorrência que nos permite encontrar todos os
a partir de
e
. Vamos separar em duas sequências: uma para os termos pares e outra para os ímpares.
Para
par (
):
Para
ímpar (
):
Passo 9
Resolvendo a recorrência, observamos que os coeficientes pares e ímpares correspondem às séries de cosseno e seno, respectivamente. Portanto, a solução geral pode ser escrita como:
Passo 10
Reconhecendo as séries de Taylor do cosseno e do seno, simplificamos a expressão para:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
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.
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.
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.