Exprima a solução geral da equação
como uma série de potências em torno do ponto .

Passo 1

Então, temos que resolver a equação diferencial usando uma série de potências em torno de . Isso está dentro do estudo de equações diferenciais lineares e séries de potências. Vamos precisar assumir que a solução pode ser expressa como uma série de potências e determinar os coeficientes dessa série.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a solução pode ser escrita como uma série de potências centrada em 0:
Aqui, são os coeficientes que precisamos encontrar.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de :

Passo 4

Substituímos e na equação diferencial :

Passo 5

Vamos ajustar os índices para que ambas as séries tenham potências de :

Passo 6

Agora, combinamos as séries:

Passo 7

Para que essa igualdade seja válida para todo , os coeficientes de cada potência de devem ser iguais a zero:

Passo 8

Essa é uma relação de recorrência que nos permite encontrar todos os a partir de e . Vamos separar em duas sequências: uma para os termos pares e outra para os ímpares.
Para par ( ):
Para ímpar ( ):

Passo 9

Resolvendo a recorrência, observamos que os coeficientes pares e ímpares correspondem às séries de cosseno e seno, respectivamente. Portanto, a solução geral pode ser escrita como:

Passo 10

Reconhecendo as séries de Taylor do cosseno e do seno, simplificamos a expressão para:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde e são constantes arbitrárias.

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.
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em torno de .