Calcule os sequintes limites, caso existam. b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o limite quando
e
se aproximam de 0 pela direita na expressão:
Isso envolve conceitos de limites em cálculo, especificamente lidando com funções de duas variáveis. Para resolver, vamos analisar o comportamento do numerador e do denominador separadamente à medida que
e
vão para 0.
Passo 2
Primeiro, vamos observar o numerador da fração:
Quando
e
se aproximam de 0,
e
se tornam muito pequenos, então:
Portanto, o numerador se aproxima de:
Passo 3
Agora, vamos analisar o denominador:
À medida que
se aproxima de 0 pela direita,
também se aproxima de 0. Já
se aproxima de 0 pela direita, então
se aproxima de 1, e:
Assim, o denominador se comporta como:
Passo 4
Com isso, a expressão original para o limite fica aproximada por:
Portanto, o limite existe e é igual a 1.
Resposta
O limite é igual a
.
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onde
é uma constante não negativa, é conhecida como equação de Legendre de ordem
, e desempenha um papel importante em física e matemática aplicada. Obtenha a expansão de sua solução geral em séries de potências
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.
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