A equação diferencial
onde
é uma constante não negativa, é conhecida como equação de Legendre de ordem
, e desempenha um papel importante em física e matemática aplicada. Obtenha a expansão de sua solução geral em séries de potências
em torno de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos apresenta a equação diferencial de Legendre de ordem
:
Nosso objetivo é encontrar uma solução geral para essa equação usando uma série de potências em torno de
:
Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre séries de potências e como aplicá-las na resolução de equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos assumir que a solução
pode ser escrita como uma série de potências em
, ou seja:
Agora, precisamos calcular as primeiras derivadas dessa série para substituir na equação diferencial. Vamos lá!
Passo 3
Calculando a primeira derivada de
:
Para simplificar, podemos reescrever somando a partir de
:
Calculando a segunda derivada:
E novamente, reescrevendo a soma a partir de
:
Passo 4
Agora, vamos substituir
,
e
na equação diferencial de Legendre:
Fazendo as substituições:
Vamos distribuir os termos:
-
Para
: -
Para
: -
Mantém-se o termo
:
Passo 5
Agora, vamos ajustar os índices das somas para que todas tenham potências de
iguais. Vamos trocar o índice na primeira soma do termo
para
:
Substituindo de volta na equação:
Agora, renomeando
para
nas somas, temos:
Para igualar os índices, ajustamos as segundas e terceiras somas:
Passo 6
Agora, podemos combinar todas as somas em uma única soma:
Para que essa equação seja válida para todo
, cada coeficiente de
deve ser igual a zero. Ou seja:
Passo 7
Agora, vamos isolar
para encontrar uma relação de recorrência entre os coeficientes:
Simplificando dentro dos colchetes:
Então:
Finalmente, isolando
:
Passo 8
Essa relação de recorrência nos permite calcular os coeficientes da série a partir de coeficientes anteriores. Para iniciar, precisamos definir os valores de
e
, que são os termos iniciais da série.
Normalmente, definimos
como um parâmetro livre (por exemplo,
) e
como outro parâmetro livre, a menos que condições adicionais sejam dadas.
Usando a relação de recorrência, podemos calcular
,
, etc., em termos de
e
.
Passo 9
Vamos ilustrar com um exemplo para encontrar os primeiros coeficientes.
- Para
:
- Para
:
- Para
:
E assim por diante.
Passo 10
Esse processo continua indefinidamente, gerando uma série infinita de coeficientes. A solução geral em série de potências para a equação diferencial de Legendre é, portanto:
Resposta
A expansão geral da solução em séries de potências para a equação diferencial de Legendre é dada por:
onde os coeficientes
são determinados pela relação de recorrência:
com
e
sendo constantes arbitrárias que representam os termos iniciais da série.
Exercícios relacionados
Ache os quatro primeiros termos não nulos da expansão em série de potências de
Qual o intervalo de convergência da expansão em série de potencias desta integral?
Exprima a solução geral da equação
como uma série de potências em torno do ponto
.
Calcule os sequintes limites, caso existam. b)
Calcule os sequintes limites, caso existam. d)