A equação diferencial
onde é uma constante não negativa, é conhecida como equação de Legendre de ordem , e desempenha um papel importante em física e matemática aplicada. Obtenha a expansão de sua solução geral em séries de potências
em torno de .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos apresenta a equação diferencial de Legendre de ordem :
Nosso objetivo é encontrar uma solução geral para essa equação usando uma série de potências em torno de :
Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre séries de potências e como aplicá-las na resolução de equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos assumir que a solução pode ser escrita como uma série de potências em , ou seja:
Agora, precisamos calcular as primeiras derivadas dessa série para substituir na equação diferencial. Vamos lá!

Passo 3

Calculando a primeira derivada de :
Para simplificar, podemos reescrever somando a partir de :
Calculando a segunda derivada:
E novamente, reescrevendo a soma a partir de :

Passo 4

Agora, vamos substituir , e na equação diferencial de Legendre:
Fazendo as substituições:
Vamos distribuir os termos:
  1. Para :
  2. Para :
  3. Mantém-se o termo :

Passo 5

Agora, vamos ajustar os índices das somas para que todas tenham potências de iguais. Vamos trocar o índice na primeira soma do termo para :
Substituindo de volta na equação:
Agora, renomeando para nas somas, temos:
Para igualar os índices, ajustamos as segundas e terceiras somas:

Passo 6

Agora, podemos combinar todas as somas em uma única soma:
Para que essa equação seja válida para todo , cada coeficiente de deve ser igual a zero. Ou seja:

Passo 7

Agora, vamos isolar para encontrar uma relação de recorrência entre os coeficientes:
Simplificando dentro dos colchetes:
Então:
Finalmente, isolando :

Passo 8

Essa relação de recorrência nos permite calcular os coeficientes da série a partir de coeficientes anteriores. Para iniciar, precisamos definir os valores de e , que são os termos iniciais da série.
Normalmente, definimos como um parâmetro livre (por exemplo, ) e como outro parâmetro livre, a menos que condições adicionais sejam dadas.
Usando a relação de recorrência, podemos calcular , , etc., em termos de e .

Passo 9

Vamos ilustrar com um exemplo para encontrar os primeiros coeficientes.
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :
E assim por diante.

Passo 10

Esse processo continua indefinidamente, gerando uma série infinita de coeficientes. A solução geral em série de potências para a equação diferencial de Legendre é, portanto:

Resposta

A expansão geral da solução em séries de potências para a equação diferencial de Legendre é dada por:
onde os coeficientes são determinados pela relação de recorrência:
com e sendo constantes arbitrárias que representam os termos iniciais da série.

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