A equação diferencial
(1-x^2) y^prime prime-2 x y^prime+lambda(lambda+1) y=0
onde lambda é uma constante não negativa, é conhecida como equação de Legendre de ordem lambda, e desempenha um papel importante em física e matemática aplicada. Obtenha a expansão de sua solução geral em séries de potências
y(x)=sumk=0^infty ak x^k
em torno de x=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos apresenta a equação diferencial de Legendre de ordem lambda:
(1-x^2) y^prime prime - 2x y^prime + lambda(lambda+1) y = 0
Nosso objetivo é encontrar uma solução geral para essa equação usando uma série de potências em torno de x=0:
y(x) = sumk=0^infty ak x^k
Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre séries de potências e como aplicá-las na resolução de equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos assumir que a solução y(x) pode ser escrita como uma série de potências em x, ou seja:
y(x) = sumk=0^infty ak x^k
Agora, precisamos calcular as primeiras derivadas dessa série para substituir na equação diferencial. Vamos lá!

Passo 3

Calculando a primeira derivada de y(x):
y^prime(x) = sumk=0^infty ak ddxx^k = sumk=0^infty ak k x^k-1
Para simplificar, podemos reescrever somando a partir de k=1:
y^prime(x) = sumk=1^infty ak k x^k-1
Calculando a segunda derivada:
y^primeprime(x) = sumk=1^infty ak k ddxx^k-1 = sumk=1^infty ak k (k-1) x^k-2
E novamente, reescrevendo a soma a partir de k=2:
y^primeprime(x) = sumk=2^infty ak k (k-1) x^k-2

Passo 4

Agora, vamos substituir y(x), y^prime(x) e y^primeprime(x) na equação diferencial de Legendre:
(1 - x^2) y^primeprime - 2x y^prime + lambda(lambda+1) y = 0
Fazendo as substituições:
(1 - x^2) sumk=2^infty ak k (k-1) x^k-2 - 2x sumk=1^infty ak k x^k-1 + lambda(lambda+1) sumk=0^infty ak x^k = 0
Vamos distribuir os termos:
  1. Para (1 - x^2) y^primeprime:
    sumk=2^infty ak k (k-1) x^k-2 - sumk=2^infty ak k (k-1) x^k
  2. Para -2x y^prime:
    -2 sumk=1^infty ak k x^k
  3. Mantém-se o termo lambda(lambda+1) y:
    lambda(lambda+1) sumk=0^infty ak x^k

Passo 5

Agora, vamos ajustar os índices das somas para que todas tenham potências de x iguais. Vamos trocar o índice na primeira soma do termo sumk=2^infty ak k (k-1) x^k-2 para k = m + 2:
summ=0^infty am+2 (m+2)(m+1) x^m
Substituindo de volta na equação:
summ=0^infty am+2 (m+2)(m+1) x^m - sumk=2^infty ak k (k-1) x^k - 2 sumk=1^infty ak k x^k + lambda(lambda+1) sumk=0^infty ak x^k = 0
Agora, renomeando m para k nas somas, temos:
sumk=0^infty ak+2 (k+2)(k+1) x^k - sumk=2^infty ak k (k-1) x^k - 2 sumk=1^infty ak k x^k + lambda(lambda+1) sumk=0^infty ak x^k = 0
Para igualar os índices, ajustamos as segundas e terceiras somas:
sumk=0^infty ak+2 (k+2)(k+1) x^k - sumk=0^infty ak k (k-1) x^k - 2 sumk=0^infty ak k x^k + lambda(lambda+1) sumk=0^infty ak x^k = 0

Passo 6

Agora, podemos combinar todas as somas em uma única soma:
sumk=0^infty [ ak+2 (k+2)(k+1) - ak k (k-1) - 2 ak k + lambda(lambda+1) ak ] x^k = 0
Para que essa equação seja válida para todo x, cada coeficiente de x^k deve ser igual a zero. Ou seja:
ak+2 (k+2)(k+1) - ak k (k-1) - 2 ak k + lambda(lambda+1) ak = 0

Passo 7

Agora, vamos isolar ak+2 para encontrar uma relação de recorrência entre os coeficientes:
ak+2 (k+2)(k+1) = ak [ k(k-1) + 2k - lambda(lambda+1) ]
Simplificando dentro dos colchetes:
k(k-1) + 2k = k^2 - k + 2k = k^2 + k
Então:
ak+2 (k+2)(k+1) = ak ( k^2 + k - lambda(lambda+1) )
Finalmente, isolando ak+2:
ak+2 = ak ( k^2 + k - lambda(lambda+1) )(k+2)(k+1)

Passo 8

Essa relação de recorrência nos permite calcular os coeficientes da série a partir de coeficientes anteriores. Para iniciar, precisamos definir os valores de a0 e a1, que são os termos iniciais da série.
Normalmente, definimos a0 como um parâmetro livre (por exemplo, a0 = 1) e a1 como outro parâmetro livre, a menos que condições adicionais sejam dadas.
Usando a relação de recorrência, podemos calcular a2, a3, etc., em termos de a0 e a1.

Passo 9

Vamos ilustrar com um exemplo para encontrar os primeiros coeficientes.
  1. Para k=0:
a2 = a0 (0^2 + 0 - lambda(lambda+1))(2)(1) = a0 (-lambda(lambda+1))2
  1. Para k=1:
a3 = a1 (1^2 + 1 - lambda(lambda+1))(3)(2) = a1 (2 - lambda(lambda+1))6
  1. Para k=2:
a4 = a2 (2^2 + 2 - lambda(lambda+1))(4)(3) = a2 (6 - lambda(lambda+1))12
E assim por diante.

Passo 10

Esse processo continua indefinidamente, gerando uma série infinita de coeficientes. A solução geral em série de potências para a equação diferencial de Legendre é, portanto:
y(x) = a0 [ 1 - lambda(lambda+1)2 x^2 + lambda(lambda+1)(lambda(lambda+1)-2)24 x^4 - dots ] + a1 [ x - (lambda(lambda+1)-2)6 x^3 + dots ]

Resposta

A expansão geral da solução em séries de potências para a equação diferencial de Legendre é dada por:
y(x) = sumk=0^infty ak x^k
onde os coeficientes ak são determinados pela relação de recorrência:
ak+2 = ak ( k^2 + k - lambda(lambda+1) )(k+2)(k+1)
com a0 e a1 sendo constantes arbitrárias que representam os termos iniciais da série.

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