Ache R'(t), R''(t) e ||R'(t)||. R(t) = e^(2t) * i + ln(t) * j

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a primeira derivada , a segunda derivada e a norma da primeira derivada, que é ||R'(t)||, da função vetorial . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial aplicados a funções vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a primeira derivada . A função dada é . Para derivar R(t) em relação a t, derivamos cada componente separadamente.

Passo 3

Derivando a primeira componente e^(2 t) em relação a t, usamos a regra da cadeia:
Derivando a segunda componente em relação a t, sabemos que a derivada de é:

Passo 4

Assim, a primeira derivada de R(t) é:

Passo 5

Agora, vamos encontrar a segunda derivada . Para isso, precisamos derivar em relação a t:

Passo 6

Derivando a primeira componente em relação a t, novamente usamos a regra da cadeia:
Derivando a segunda componente em relação a t, usamos a regra da potência:

Passo 7

Portanto, a segunda derivada é:

Passo 8

Por último, vamos calcular a norma de , ou seja, ||R'(t)||. A norma de um vetor é a raiz quadrada da soma dos quadrados das suas componentes.

Passo 9

A primeira derivada que encontramos foi:
Então, a norma é:

Resposta

As derivadas são e . A norma de é .

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