(2,0 pontos) Use o Método do Ponto Fixo para determinar a solução com precisão
para
no intervalo [1,2]. Use
.
Passo 1
Beleza, a gente tem a equação
e queremos resolver isso usando o Método do Ponto Fixo no intervalo
com uma precisão de
. O Método do Ponto Fixo é uma técnica iterativa pra encontrar raízes de equações, e a gente vai começar com
.
Passo 2
Primeiro, precisamos reescrever a equação
de uma forma que fique
. Isso é essencial porque, no Método do Ponto Fixo, a gente define uma função
que nos ajuda a iterar e aproximar a solução. Vamos rearranjar a equação:
Então, nossa função
vai ser
.
Passo 3
Agora, vamos começar as iterações. A ideia é usar a fórmula
até que a diferença entre
e
seja menor que
.
Começamos com
.
Calculando
:
Passo 4
Agora, calculamos
:
A diferença entre
e
é
, que ainda é maior que
.
Passo 5
Vamos para
:
Diferença:
, ainda acima da nossa precisão.
Passo 6
Continuando para
:
Diferença:
, que é igual a
.
Resposta
A solução aproximada da equação
no intervalo
usando o Método do Ponto Fixo com precisão
é
.
Exercícios relacionados
Ache
e
.
Ache o limite indicado, se ele existir.
Um pesquisador deseja estimar a proporção de ratos nos quais se desenvolve um certo tipo de tumor quando submetidos a radiação. Ele deseja que sua estimativa não se desvie da proporção verdadeira por mais de 0,02 com uma probabilidade de pelo menos
. (a) Quantos animais ele precisa examinar para satisfazer essa exigência? b) Como seria possível diminuir o tamanho da amostra utilizando a informação adicional de que em geral esse tipo de radiação não afeta mais que
dos ratos?