Um pesquisador deseja estimar a proporção de ratos nos quais se desenvolve um certo tipo de tumor quando submetidos a radiação. Ele deseja que sua estimativa não se desvie da proporção verdadeira por mais de 0,02 com uma probabilidade de pelo menos . (a) Quantos animais ele precisa examinar para satisfazer essa exigência? b) Como seria possível diminuir o tamanho da amostra utilizando a informação adicional de que em geral esse tipo de radiação não afeta mais que dos ratos?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta é sobre estimação de proporção, que é um conceito de estatística. O pesquisador quer saber quantos ratos ele precisa examinar para ter certeza de que sua estimativa da proporção de tumores está correta dentro de um desvio máximo de 0,02, com 90% de confiança. Para isso, vamos precisar usar a fórmula do tamanho da amostra para proporções.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ter uma estimativa que não se desvie da proporção verdadeira por mais de 0,02 com 90% de confiança. Isso quer dizer que a margem de erro (E) nessa estimativa é 0,02 e o nível de confiança é 90%.

Passo 3

A fórmula para calcular o tamanho da amostra (n) quando queremos estimar uma proporção é:
Onde:
  • é o valor z correspondente ao nível de confiança desejado.
  • é a proporção estimada.
  • é a margem de erro.

Passo 4

Como o pesquisador não sabe qual é a proporção verdadeira §, a melhor estratégia é usar o valor que maximiza a expressão . Isso acontece quando . Assim, para garantir o tamanho mínimo da amostra, vamos usar .

Passo 5

Agora, vamos encontrar o valor z para um nível de confiança de 90%. Olhando uma tabela z ou usando uma calculadora, vemos que para 90% de confiança, .

Passo 6

Substituindo os valores na fórmula:

Passo 7

Como não podemos ter uma fração de um rato, arredondamos para cima. Portanto, o pesquisador precisa examinar 1.692 ratos para satisfazer a exigência.

Resposta

O pesquisador precisa examinar 1.692 ratos para garantir que sua estimativa da proporção de tumores terá um desvio máximo de 0,02 com 90% de confiança.

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