Encontre uma equação em coordenadas cartesianas da superfície cuja equação é dada em coordenadas esféricas.
ll a) rho=9 sec phi & b) rho=6 cos e c phi c) rho=6 sen phi sen theta+3 cos phi & d) rho=2 t g theta

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar as equações em coordenadas cartesianas das superfícies dadas em coordenadas esféricas. Vamos trabalhar com cada parte (a, b, c, d) separadamente. Para isso, precisamos lembrar das fórmulas de conversão de coordenadas esféricas para cartesianas:
x = rho sin phi cos theta y = rho sin phi sin theta z = rho cos phi
Vamos usar essas fórmulas para converter cada equação.

Passo 2

Equação Esférica: rho = 9 sec phi
Primeiro, vamos relembrar que sec phi = 1cos phi. Assim, a equação fica:
rho = 9cos phi
Multiplicando ambos os lados por cos phi, temos:
rho cos phi = 9
Sabemos que z = rho cos phi, então substituindo:
z = 9

Passo 3

Equação Esférica: rho = 6 cos theta cos phi
Vamos usar as fórmulas de conversão. Sabemos que:
x = rho sin phi cos theta z = rho cos phi
A equação dada é:
rho = 6 cos theta cos phi
Substituindo z = rho cos phi:
rho = 6 cos theta cdot zrho
Multiplicando ambos os lados por rho:
rho^2 = 6 z cos theta
Sabemos que rho^2 = x^2 + y^2 + z^2, então:
x^2 + y^2 + z^2 = 6 z cos theta
Mas cos theta = xraizx^2 + y^2, então substituindo:
x^2 + y^2 + z^2 = 6 z cdot xraizx^2 + y^2
Essa é a equação cartesiana correspondente.

Passo 4

Equação Esférica: rho = 6 sin phi sin theta + 3 cos phi
Vamos novamente usar as fórmulas de conversão:
x = rho sin phi cos theta y = rho sin phi sin theta z = rho cos phi
A equação dada é:
rho = 6 sin phi sin theta + 3 cos phi
Substituindo y = rho sin phi sin theta e z = rho cos phi:
rho = 6yrho + 3zrho
Multiplicando ambos os lados por rho:
rho^2 = 6y + 3z
Sabemos que rho^2 = x^2 + y^2 + z^2, então:
x^2 + y^2 + z^2 = 6y + 3z
Essa é a equação cartesiana correspondente.

Passo 5

Equação Esférica: rho = 2 tan theta
Vamos usar as fórmulas de conversão e lembrar que tan theta = yx.
A equação dada é:
rho = 2 tan theta = 2 cdot yx
Multiplicando ambos os lados por x:
rho x = 2y
Sabemos que x = rho sin phi cos theta, então substituindo:
rho cdot rho sin phi cos theta = 2y rho^2 sin phi cos theta = 2y
Como y = rho sin phi sin theta, substituindo:
rho^2 sin phi cos theta = 2 rho sin phi sin theta
Dividindo ambos os lados por rho sin phi (desde que rho neq 0 e sin phi neq 0):
rho cos theta = 2 sin theta
Sabendo que rho^2 = x^2 + y^2 + z^2 e cos theta = xraizx^2 + y^2, sin theta = yraizx^2 + y^2, podemos substituir:
raizx^2 + y^2 + z^2 cdot xraizx^2 + y^2 = 2 cdot yraizx^2 + y^2
Simplificando:
x raizx^2 + y^2 + z^2raizx^2 + y^2 = 2yraizx^2 + y^2
Multiplicando ambos os lados por raizx^2 + y^2:
x raizx^2 + y^2 + z^2 = 2y
Essa é a equação cartesiana correspondente.

Resposta

As equações em coordenadas cartesianas são:
a) z = 9
b) x^2 + y^2 + z^2 = 6 z cdot xraizx^2 + y^2
c) x^2 + y^2 + z^2 = 6y + 3z
d) x raizx^2 + y^2 + z^2 = 2y

Exercícios relacionados

Uma partícula está se movendo ao longo da curva, tendo as equações paramétricas dadas. Ache o vetor velocidade, o vetor aceleração, a velocidade escalar no ponto dado, o módulo do vetor aceleração no ponto dado.
a) x=t^2+4, y=t-2, t=3 & b) x=ln (t-2), y=t^3-1, t=3 c) x=5 cos 2 t, y=3 sen 2 t, t=pi4 & d) x=e^2 t, y=e^3 t, t=0
Ache T(t) e N(t)
cc a) R(t)=t^2 i+e^t j & b) R(t)=sen^3 t i+cos ^3 t j c) R(t)=raiz1+t^2 i+t j & d) R(t)=(1+t) i+ln cos t j
Ache R^prime(t), R^prime prime(t) e |R^prime(t)|.
ll a) R(t)=(t^2-3) i+(2 t+1) j & b) R(t)=e^2 t i+ln t j c) R(t)=cos 2 t i+t g t j & d) R(t)=raiz2 t+1 i+(t-1)^2 j e) R(t)=(t-1)t+1 i+(t-2)t j & f) R(t)=(e^t+1) i+(e^t-1) j
Ache o vetor tangente unitário para a curva tendo a equação vetorial dada.
ll a) R(t)=(t+1) i-t^2 j+(1-2 t) k & b) R(t)=sen 2 t i+cos 2 t j+2 raizt^3 k c) R(t)=e^t cos t i+e^t sen t j+e^t k & d) R(t)=2 t cos t i+5 t j+2 t sen t k