Encontre uma equação em coordenadas cartesianas da superfície cuja equação é dada em coordenadas esféricas.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar as equações em coordenadas cartesianas das superfícies dadas em coordenadas esféricas. Vamos trabalhar com cada parte (a, b, c, d) separadamente. Para isso, precisamos lembrar das fórmulas de conversão de coordenadas esféricas para cartesianas:
Vamos usar essas fórmulas para converter cada equação.
Passo 2
Equação Esférica:
Primeiro, vamos relembrar que
. Assim, a equação fica:
Multiplicando ambos os lados por
, temos:
Sabemos que
, então substituindo:
Passo 3
Equação Esférica:
Vamos usar as fórmulas de conversão. Sabemos que:
A equação dada é:
Substituindo
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Sabemos que
, então:
Mas
, então substituindo:
Essa é a equação cartesiana correspondente.
Passo 4
Equação Esférica:
Vamos novamente usar as fórmulas de conversão:
A equação dada é:
Substituindo
e
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Sabemos que
, então:
Essa é a equação cartesiana correspondente.
Passo 5
Equação Esférica:
Vamos usar as fórmulas de conversão e lembrar que
.
A equação dada é:
Multiplicando ambos os lados por
:
Sabemos que
, então substituindo:
Como
, substituindo:
Dividindo ambos os lados por
(desde que
e
):
Sabendo que
e
,
, podemos substituir:
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por
:
Essa é a equação cartesiana correspondente.
Resposta
As equações em coordenadas cartesianas são:
a)
b)
c)
d)
Exercícios relacionados
Uma partícula está se movendo ao longo da curva, tendo as equações paramétricas dadas. Ache o vetor velocidade, o vetor aceleração, a velocidade escalar no ponto dado, o módulo do vetor aceleração no ponto dado.
Ache
e
Ache
e
.
Ache o vetor tangente unitário para a curva tendo a equação vetorial dada.