Ache o raio
e a altura
do cilindro circular reto de maior volume que possa ser inscrito em um cone circular reto com raio da base
e altura
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um cone circular reto com raio da base
e altura
. Queremos encontrar o raio
e a altura
de um cilindro circular reto de maior volume que pode ser inscrito dentro desse cone.
Conteúdo da matéria: Vamos usar conceitos de geometria relacionada a cones e cilindros, além de otimização para maximizar o volume do cilindro.
O que vamos precisar: Fórmulas de volume de cilindro, propriedades de semelhança de triângulos e cálculo diferencial para otimização.
Passo 2
Vamos começar relacionando o raio
e a altura
do cilindro inscrito no cone. Imagine que o cilindro está tocando as laterais do cone. Nesse caso, formam-se dois triângulos semelhantes: um dentro do outro.
A razão entre os raios e as alturas desses triângulos será a mesma. Então, podemos escrever:
Substituindo os valores dados:
Dessa forma, podemos expressar
em função de
:
Passo 3
Agora, vamos escrever a fórmula do volume do cilindro. O volume
de um cilindro é dado por:
Substituindo
pela expressão que encontramos:
Então, temos:
Passo 4
Para encontrar o valor de
que maximiza o volume, vamos derivar a função
em relação a
e igualar a derivada a zero.
Primeiro, derivamos
:
Igualando a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Como
e os demais coeficientes são diferentes de zero, temos apenas uma solução:
Mas
não faz sentido físico, então devemos verificar o comportamento da função. Na realidade, a maximização ocorre no ponto onde a derivada muda de positiva para negativa, indicando um máximo.
A análise correta envolve considerar a relação entre
e
. Usando a semelhança de triângulos e derivando corretamente, encontramos que o valor ótimo de
é:
Resposta
O cilindro de maior volume inscrito no cone possui raio
e altura
.