Ache os valores de máximo e mínimo das funções abaixo, nos intervalos indicados:
(a)
no intervalo
.
(b)
no intervalo
.
©
no intervalo
.
(d)
no intervalo
.
(e)
no intervalo
.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
Passo 1
Então, temos a função
e precisamos encontrar os valores máximos e mínimos dessa função no intervalo
. Para isso, vamos usar o cálculo diferencial, mais especificamente, encontrando as derivadas da função para identificar os pontos onde ela atinge seus extremos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada de
. A derivada nos ajuda a identificar as inclinações da curva da função. Se a derivada for zero, pode significar que a função atinge um ponto de máximo ou mínimo.
A derivada de
é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os valores de
onde
:
Podemos fatorar essa equação:
Isso nos dá:
Resolvendo a segunda equação quadrática:
Então, as soluções são:
Mas como o intervalo é
,
está fora do intervalo, então descartamos esse valor. Portanto, os pontos críticos são
e
.
Passo 4
Agora, vamos avaliar a função
nos pontos críticos e também nas extremidades do intervalo para encontrar os valores máximos e mínimos.
Calculando
em:
-
:
-
:
-
:
-
:
(Nota: Corrigindo o cálculo)
Passo 5
Agora, vamos comparar os valores obtidos:
O maior valor é
em
e o menor valor é
em
.
Resposta
No intervalo
, a função
atinge seu valor máximo de
em
e seu valor mínimo de
em
.