Ache os valores de máximo e mínimo das funções abaixo, nos intervalos indicados:
(a) f(x) = x^4 + 8/3 * x^3 - 16 * x^2 no intervalo [-3, 3].
(b) f(x) = (x^3 + 1) / x no intervalo [1/2, 2].
© f(x) = x / (x^2 + 1) no intervalo [-3,2].
(d) f(x) = raiz(x^2 - x) no intervalo [1,5].
(e) f(x) = ln(x^3 - x) no intervalo [-2/3, -1/2].

Passo 1

Então, temos a função e precisamos encontrar os valores máximos e mínimos dessa função no intervalo . Para isso, vamos usar o cálculo diferencial, mais especificamente, encontrando as derivadas da função para identificar os pontos onde ela atinge seus extremos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de . A derivada nos ajuda a identificar as inclinações da curva da função. Se a derivada for zero, pode significar que a função atinge um ponto de máximo ou mínimo.
A derivada de é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os valores de onde :
Podemos fatorar essa equação:
Isso nos dá:
Resolvendo a segunda equação quadrática:
Então, as soluções são:
Mas como o intervalo é , está fora do intervalo, então descartamos esse valor. Portanto, os pontos críticos são e .

Passo 4

Agora, vamos avaliar a função nos pontos críticos e também nas extremidades do intervalo para encontrar os valores máximos e mínimos.
Calculando em:
  • :
  • :
  • :
  • :
(Nota: Corrigindo o cálculo)

Passo 5

Agora, vamos comparar os valores obtidos:
O maior valor é em e o menor valor é em .

Resposta

No intervalo , a função atinge seu valor máximo de em e seu valor mínimo de em .

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