Determine em quais pontos as funções
abaixo têm derivadas, e escreva a função
:
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma função definida por partes. A questão pede pra gente descobrir em quais pontos essa função tem derivada e, além disso, escrever a derivada dela,
. A matéria que vamos usar aqui é cálculo diferencial, especificamente o conceito de derivadas de funções definidas por partes. Vamos precisar verificar a derivabilidade nas diferentes partes da função e também no ponto onde a definição muda, que nesse caso é
.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar as duas partes da função:
- Para
, temos . - Para
, temos .
Cada uma dessas partes é uma função polinomial, que são diferenciáveis em todo lugar. Então, fora do ponto
, a função
tem derivada.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada de cada parte:
-
Para
: . - A derivada é
.
- A derivada é
-
Para
: . - A derivada é
.
- A derivada é
Então, até aqui, sabemos que a derivada existe para todo
diferente de 1.
Passo 4
O próximo passo é verificar se a derivada existe no ponto onde a definição da função muda, ou seja, em
. Para isso, precisamos checar se a função é contínua nesse ponto e se as derivadas laterais são iguais.
Primeiro, vamos verificar a continuidade em
:
- Limite quando
se aproxima de 1 pela direita: . - Limite quando
se aproxima de 1 pela esquerda: .
Como os limites são iguais e
, a função é contínua em
.
Passo 5
Agora, vamos verificar as derivadas laterais em
:
- Derivada pela direita:
. - Derivada pela esquerda:
.
Como as derivadas laterais são iguais, a derivada existe em
e vale 5.
Passo 6
Com isso, concluímos que a função
tem derivada em todo ponto real e a derivada
é dada por:
Resposta
A função
tem derivada em todos os pontos reais e a derivada
é: