Determine em quais pontos as funções f abaixo têm derivadas, e escreva a função f' :
(a) f(x) = { x² + 3x, se x ≥ 1; 5x - 1, se x < 1 }

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma função definida por partes. A questão pede pra gente descobrir em quais pontos essa função tem derivada e, além disso, escrever a derivada dela, . A matéria que vamos usar aqui é cálculo diferencial, especificamente o conceito de derivadas de funções definidas por partes. Vamos precisar verificar a derivabilidade nas diferentes partes da função e também no ponto onde a definição muda, que nesse caso é .

Passo 2

Primeiro, vamos olhar as duas partes da função:
  • Para , temos .
  • Para , temos .
Cada uma dessas partes é uma função polinomial, que são diferenciáveis em todo lugar. Então, fora do ponto , a função tem derivada.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada de cada parte:
  • Para : .
    • A derivada é .
  • Para : .
    • A derivada é .
Então, até aqui, sabemos que a derivada existe para todo diferente de 1.

Passo 4

O próximo passo é verificar se a derivada existe no ponto onde a definição da função muda, ou seja, em . Para isso, precisamos checar se a função é contínua nesse ponto e se as derivadas laterais são iguais.
Primeiro, vamos verificar a continuidade em :
  • Limite quando se aproxima de 1 pela direita: .
  • Limite quando se aproxima de 1 pela esquerda: .
Como os limites são iguais e , a função é contínua em .

Passo 5

Agora, vamos verificar as derivadas laterais em :
  • Derivada pela direita: .
  • Derivada pela esquerda: .
Como as derivadas laterais são iguais, a derivada existe em e vale 5.

Passo 6

Com isso, concluímos que a função tem derivada em todo ponto real e a derivada é dada por:

Resposta

A função tem derivada em todos os pontos reais e a derivada é:

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