Calcule, onde existir, a derivada das funções abaixo:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
Passo 1
Beleza, vamos resolver as derivadas das funções listadas no exercício. A gente vai usar as regras de derivação como regra do quociente, regra do produto, regra da cadeia, entre outras. Vou explicar cada passo direitinho pra você entender como chegar nas respostas finais.
Passo 2
(a)
O que vamos usar: Regra do Quociente, que é útil quando temos uma função dividida por outra.
Passos:
- Identificamos
e . - Calculamos as derivadas:
-
- Aplicamos a regra do quociente:
- Simplificamos o numerador:
- Portanto:
Passo 3
(b)
O que vamos usar: Regra do Produto e a regra da cadeia.
Passos:
- Identificamos
e . - Calculamos as derivadas:
-
- Aplicamos a regra do produto:
- Colocamos tudo sobre o mesmo denominador:
- Simplificamos o numerador:
- Portanto:
Passo 4
©
O que vamos usar: Regra da Potência.
Passos:
- Reescrevemos a função para facilitar a derivação:
- Simplificamos:
- Derivamos cada termo usando a regra da potência (
): - Reescrevemos de forma mais simples:
Passo 5
(d)
O que vamos usar: Regra do Quociente e a regra da cadeia.
Passos:
- Identificamos
e . - Calculamos as derivadas:
-
- Aplicamos a regra do quociente:
- Simplificamos o numerador:
- Portanto:
Passo 6
(e)
O que vamos usar: Regra do Produto e identidades trigonométricas.
Passos:
- Vamos usar a identidade
: - Identificamos
e . - Calculamos as derivadas:
-
-
(usando a regra da cadeia)
-
- Aplicamos a regra do produto:
Passo 7
(f)
O que vamos usar: Regra da Potência e Regra do Quociente simples.
Passos:
- Reescrevemos a função:
- Distribuímos:
- Derivamos cada termo:
Passo 8
(g)
O que vamos usar: Regra da Potência e Regra da Exponencial.
Passos:
- Identificamos os termos:
-
, onde é a base dos logaritmos naturais -
-
- Derivamos cada termo:
Passo 9
(h)
O que vamos usar: Derivada do Logaritmo com base diferente e da função exponencial.
Passos:
- Lembramos que
. Então: - Derivamos cada termo:
- Para
: - Para
:
- Para
- Portanto:
Passo 10
(i)
O que vamos usar: Regra do Quociente e simplificação de potências.
Passos:
- Reescrevemos as raízes em potências:
- Derivamos cada termo usando a regra da potência:
- Reescrevemos de forma mais simples:
Resposta
As derivadas das funções são:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)