Encontre o ponto do gráfico de g(x) = raiz(x + 1) que está mais próximo de (0,0).

Passo 1

Nós queremos encontrar o ponto no gráfico da função que está mais próximo da origem, ou seja, do ponto . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo relacionados à distância entre pontos e otimização.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como calcular a distância entre dois pontos no plano. A fórmula da distância entre dois pontos e é dada por:
No nosso caso, queremos a distância entre um ponto no gráfico e a origem . Então, substituindo na fórmula:

Passo 3

Para encontrar o ponto mais próximo, precisamos minimizar essa distância. Em vez de minimizar , que envolve a raiz quadrada, é mais fácil minimizar , já que a função raiz é crescente. Então, vamos minimizar:

Passo 4

Agora, para encontrar o mínimo de , vamos derivar essa expressão em relação a e igualar a derivada a zero. A derivada de é:
Igualando a derivada a zero:

Passo 5

Agora que temos o valor de , vamos encontrar o correspondente valor de usando a função :

Resposta

O ponto no gráfico de que está mais próximo de é .

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