Ache o raio do cilindro de volume máximo que pode ser inscrito num cone de altura e raio da base .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos o raio do cilindro de volume máximo que pode ser inscrito num cone com altura e raio da base . Isso envolve conceitos de geometria (formas e volumes) e cálculo (otimização). Para resolver, vamos precisar entender como relacionar as dimensões do cilindro com as do cone e usar derivadas para maximizar o volume.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o cone e o cilindro dentro dele. Imagine um cone com altura e raio na base. Agora, encaixamos um cilindro dentro desse cone, tocando as laterais do cone. Vamos chamar a altura do cilindro de e o raio de . Nosso objetivo é encontrar que maximize o volume do cilindro.

Passo 3

Para relacionar e , vamos usar semelhança de triângulos. Se traçarmos uma linha lateral do cone e a lateral do cilindro, formam-se dois triângulos semelhantes. Assim, as proporções dos lados correspondentes são iguais: Isso nos dá uma relação entre e :

Passo 4

Agora, vamos expressar o volume do cilindro em função de . O volume de um cilindro é dado por: Substituindo pela expressão que encontramos:

Passo 5

Para encontrar o valor de que maximiza , precisamos derivar em relação a e igualar a zero: Simplificando a derivada: Fatorando :

Passo 6

Resolvendo a equação , temos duas possibilidades: 1. (não faz sentido, pois o cilindro ocuparia toda a altura do cone, resultando em raio zero). 2.

Passo 7

Com , podemos encontrar o raio :

Resposta

O raio do cilindro de volume máximo inscrito no cone é .

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