Ache o raio do cilindro de volume máximo que pode ser inscrito num cone de altura e raio da base .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos o raio do cilindro de volume máximo que pode ser inscrito num cone com altura e raio da base . Isso envolve conceitos de geometria (formas e volumes) e cálculo (otimização). Para resolver, vamos precisar entender como relacionar as dimensões do cilindro com as do cone e usar derivadas para maximizar o volume.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o cone e o cilindro dentro dele. Imagine um cone com altura e raio na base. Agora, encaixamos um cilindro dentro desse cone, tocando as laterais do cone. Vamos chamar a altura do cilindro de e o raio de . Nosso objetivo é encontrar que maximize o volume do cilindro.
Passo 3
Para relacionar e , vamos usar semelhança de triângulos. Se traçarmos uma linha lateral do cone e a lateral do cilindro, formam-se dois triângulos semelhantes. Assim, as proporções dos lados correspondentes são iguais:
Isso nos dá uma relação entre e :
Passo 4
Agora, vamos expressar o volume do cilindro em função de . O volume de um cilindro é dado por:
Substituindo pela expressão que encontramos:
Passo 5
Para encontrar o valor de que maximiza , precisamos derivar em relação a e igualar a zero:
Simplificando a derivada:
Fatorando :
Passo 6
Resolvendo a equação , temos duas possibilidades:
1. → (não faz sentido, pois o cilindro ocuparia toda a altura do cone, resultando em raio zero).
2. → →
Passo 7
Com , podemos encontrar o raio :
Resposta
O raio do cilindro de volume máximo inscrito no cone é .