Ache o raio do cilindro de volume máximo que pode ser inscrito num cone de altura
e raio da base
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos o raio do cilindro de volume máximo que pode ser inscrito num cone com altura
e raio da base
. Isso envolve conceitos de geometria (formas e volumes) e cálculo (otimização). Para resolver, vamos precisar entender como relacionar as dimensões do cilindro com as do cone e usar derivadas para maximizar o volume.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o cone e o cilindro dentro dele. Imagine um cone com altura
e raio
na base. Agora, encaixamos um cilindro dentro desse cone, tocando as laterais do cone. Vamos chamar a altura do cilindro de
e o raio de
. Nosso objetivo é encontrar
que maximize o volume do cilindro.
Passo 3
Para relacionar
e
, vamos usar semelhança de triângulos. Se traçarmos uma linha lateral do cone e a lateral do cilindro, formam-se dois triângulos semelhantes. Assim, as proporções dos lados correspondentes são iguais:
Isso nos dá uma relação entre
e
:
Passo 4
Agora, vamos expressar o volume
do cilindro em função de
. O volume de um cilindro é dado por:
Substituindo
pela expressão que encontramos:
Passo 5
Para encontrar o valor de
que maximiza
, precisamos derivar
em relação a
e igualar a zero:
Simplificando a derivada:
Fatorando
:
Passo 6
Resolvendo a equação
, temos duas possibilidades:
-
→ (não faz sentido, pois o cilindro ocuparia toda a altura do cone, resultando em raio zero). -
→ →
Passo 7
Com
, podemos encontrar o raio
:
Resposta
O raio do cilindro de volume máximo inscrito no cone é
.