Calcule f'(x) para as funções f abaixo:
3) f(x) = (4x - x^4) / (x^3 + 2) ^ 100

Passo 1

Vamos calcular a derivada da função . Estamos trabalhando com Cálculo Diferencial, mais especificamente aplicando as regras de derivação de quocientes e funções compostas. Para resolver isso, vamos precisar usar a Regra do Quociente e a Regra da Cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função. Temos:
  • Numerador:
  • Denominador:
Para derivar uma fração, usamos a Regra do Quociente, que diz:

Passo 3

Vamos encontrar a derivada do numerador :
Derivando termo a termo:

Passo 4

Agora, vamos encontrar a derivada do denominador :
Aqui, precisamos usar a Regra da Cadeia, pois temos uma função composta. Seja e . Então:

Passo 5

Agora, aplicamos a Regra do Quociente substituindo as derivadas encontradas:

Passo 6

Vamos simplificar a expressão. Note que é um fator comum no numerador:

Passo 7

Vamos expandir e simplificar o numerador:
Somando essas duas partes:

Passo 8

Substituindo de volta na expressão de :

Resposta

A derivada de é:

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