Determine a razão entre a altura e o diâmetro da base do cilindro de volume máximo que pode ser inscrito em uma esfera de raio
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a razão entre a altura e o diâmetro da base de um cilindro que tem o volume máximo quando está dentro de uma esfera com raio
. Estamos lidando com geometria e otimização, ou seja, queremos maximizar o volume do cilindro dentro da esfera. Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de geometria espacial e cálculo de máximos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como o cilindro está inscrito na esfera. Imagine uma esfera de raio
e um cilindro dentro dela. A altura do cilindro será
e o diâmetro da base será
. Como o cilindro está dentro da esfera, os vértices do topo e da base do cilindro tocam a superfície da esfera.
Passo 3
Vamos relacionar a altura
e o diâmetro
. A partir do centro da esfera, podemos formar um triângulo retângulo com a altura do cilindro e o raio da base. Usando o teorema de Pitágoras, temos:
Essa equação relaciona a altura e o diâmetro do cilindro com o raio da esfera.
Passo 4
Queremos maximizar o volume do cilindro. A fórmula do volume
de um cilindro é:
Onde
é o raio da base do cilindro. Como o diâmetro
, podemos reescrever a fórmula do volume como:
Nosso objetivo é maximizar
em função de
e
.
Passo 5
Vamos usar a equação do passo 3 para expressar
em termos de
ou vice-versa. Vamos resolver para
:
Passo 6
Agora, substituímos
na fórmula do volume:
Para encontrar o máximo, vamos derivar
em relação a
e igualar a zero.
Passo 7
Calculando a derivada de
em relação a
:
Igualando a derivada a zero:
Isso ocorre quando
(já que
).
Passo 8
Resolvendo
:
Agora, encontramos o diâmetro
em função do raio
.
Passo 9
Vamos encontrar a altura
correspondente usando a equação do passo 5:
Resposta
A razão entre a altura
e o diâmetro
do cilindro é:
Então, a razão
é igual a
, ou aproximadamente
.