Determine a razão entre a altura e o diâmetro da base do cilindro de volume máximo que pode ser inscrito em uma esfera de raio R.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a razão entre a altura e o diâmetro da base de um cilindro que tem o volume máximo quando está dentro de uma esfera com raio R. Estamos lidando com geometria e otimização, ou seja, queremos maximizar o volume do cilindro dentro da esfera. Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de geometria espacial e cálculo de máximos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como o cilindro está inscrito na esfera. Imagine uma esfera de raio R e um cilindro dentro dela. A altura do cilindro será h e o diâmetro da base será d. Como o cilindro está dentro da esfera, os vértices do topo e da base do cilindro tocam a superfície da esfera.

Passo 3

Vamos relacionar a altura h e o diâmetro d. A partir do centro da esfera, podemos formar um triângulo retângulo com a altura do cilindro e o raio da base. Usando o teorema de Pitágoras, temos:
Essa equação relaciona a altura e o diâmetro do cilindro com o raio da esfera.

Passo 4

Queremos maximizar o volume do cilindro. A fórmula do volume V de um cilindro é:
Onde r é o raio da base do cilindro. Como o diâmetro , podemos reescrever a fórmula do volume como:
Nosso objetivo é maximizar V em função de d e h.

Passo 5

Vamos usar a equação do passo 3 para expressar h em termos de d ou vice-versa. Vamos resolver para h:

Passo 6

Agora, substituímos h na fórmula do volume:
Para encontrar o máximo, vamos derivar V em relação a d e igualar a zero.

Passo 7

Calculando a derivada de V em relação a d:
Igualando a derivada a zero:
Isso ocorre quando (já que ).

Passo 8

Resolvendo :
Agora, encontramos o diâmetro d em função do raio R.

Passo 9

Vamos encontrar a altura h correspondente usando a equação do passo 5:

Resposta

A razão entre a altura h e o diâmetro d do cilindro é:
Então, a razão é igual a , ou aproximadamente .

Exercícios relacionados