Ache o raio de convergência e o intervalo de convergência da série .

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrarmos o raio de convergência e o intervalo de convergência da série . Aqui, estamos lidando com séries de potências e usaremos o Teste da Razão para determinar o raio de convergência. Esse teste nos ajuda a descobrir para quais valores de a série vai convergir.

Passo 2

Primeiro, aplicamos o Teste da Razão à série dada. O teste diz que devemos calcular o limite:
onde .
Vamos calcular :
Como estamos interessados no valor absoluto, o sinal negativo não importa:

Passo 3

Agora, calculamos o limite quando tende ao infinito:
Para que a série convirja, precisamos que :
Portanto, o raio de convergência é .

Passo 4

Agora, para determinar o intervalo de convergência, precisamos verificar os pontos extremos e .
  1. Para :
A série fica:
Essa é uma série alternada cujo termo geral é , que converge pelo Teste da Série Alternada (pois tende a zero e é decrescente).
  1. Para :
A série fica:
Essa é uma série p com , que também converge porque .

Resposta

O raio de convergência da série é e o intervalo de convergência é .

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