Ache o raio de convergência e o intervalo de convergência da série .
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrarmos o raio de convergência e o intervalo de convergência da série . Aqui, estamos lidando com séries de potências e usaremos o Teste da Razão para determinar o raio de convergência. Esse teste nos ajuda a descobrir para quais valores de a série vai convergir.
Passo 2
Primeiro, aplicamos o Teste da Razão à série dada. O teste diz que devemos calcular o limite:
onde an+1an = (-1)^n+1 e^n+1 x^n+1 / (n+1)^3(-1)^n e^n x^n / n^3 = -e cdot x cdot (nn+1)^3 .
Vamos calcular | an+1an | = e |x| (nn+1)^3 :
Como estamos interessados no valor absoluto, o sinal negativo não importa:
Passo 3
Agora, calculamos o limite quando L = limn to infty e |x| (nn+1)^3 = e |x| cdot 1 = e |x| tende ao infinito:
e |x| < 1 implies |x| < 1e
Para que a série convirja, precisamos que :
Portanto, o raio de convergência é .
Passo 4
Agora, para determinar o intervalo de convergência, precisamos verificar os pontos extremos sumn=1^infty (-1)^n e^n (1e)^nn^3 = sumn=1^infty (-1)^n 1n^3 e sumn=1^infty (-1)^n e^n (-1e)^nn^3 = sumn=1^infty (-1)^n (-1)^nn^3 = sumn=1^infty 1n^3 .
Para :
A série fica:
Essa é uma série alternada cujo termo geral é , que converge pelo Teste da Série Alternada (pois tende a zero e é decrescente).
Para :
A série fica:
Essa é uma série p com , que também converge porque .
Resposta
O raio de convergência da série é e o intervalo de convergência é .