Calcule, utilizando série de potências, a integral com precisão de pelo menos uma casa decimal.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral usando séries de potências. Para isso, vamos usar o conceito de série geométrica e integrar termo a termo. Vamos precisar entender como expandir a função em série e depois calcular a integral de cada termo dessa série.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que facilite a expansão em série. Sabemos que a série geométrica é dada por , onde .
Aqui, podemos pensar em , então temos:
Essa expansão é válida para , ou seja, para . Como nosso intervalo de integração vai até , estamos dentro da faixa de convergência.

Passo 3

Agora que temos a função expandida em série, podemos integrar termo a termo. Vamos calcular a integral:
A integral de é:
Então, substituindo na série:

Passo 4

Vamos calcular alguns termos dessa série até alcançarmos a precisão de pelo menos uma casa decimal. Vamos somar os termos até que a mudança na soma não altere a primeira casa decimal.
Vamos calcular os primeiros termos:
Somando esses termos:
Como os termos seguintes são muito pequenos e não alteram a primeira casa decimal, podemos parar por aqui.

Resposta

A integral é aproximadamente quando calculada com pelo menos uma casa decimal de precisão.

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