Calcule, utilizando série de potências, a integral
com precisão de pelo menos uma casa decimal.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral
usando séries de potências. Para isso, vamos usar o conceito de série geométrica e integrar termo a termo. Vamos precisar entender como expandir a função em série e depois calcular a integral de cada termo dessa série.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função
de uma forma que facilite a expansão em série. Sabemos que a série geométrica é dada por
, onde
.
Aqui, podemos pensar em
, então temos:
Essa expansão é válida para
, ou seja, para
. Como nosso intervalo de integração vai até
, estamos dentro da faixa de convergência.
Passo 3
Agora que temos a função expandida em série, podemos integrar termo a termo. Vamos calcular a integral:
A integral de
é:
Então, substituindo na série:
Passo 4
Vamos calcular alguns termos dessa série até alcançarmos a precisão de pelo menos uma casa decimal. Vamos somar os termos até que a mudança na soma não altere a primeira casa decimal.
Vamos calcular os primeiros termos:
Somando esses termos:
Como os termos seguintes são muito pequenos e não alteram a primeira casa decimal, podemos parar por aqui.
Resposta
A integral
é aproximadamente
quando calculada com pelo menos uma casa decimal de precisão.
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Calcule o comprimento de arco da curva dada.
$(b) $ com
.
$(b) $
O raio de um cone circular reto aumenta à taxa de
enquanto sua altura decresce à taxa de
. Qual é a taxa de variação do volume do cone quando o seu raio é igual a 20 cm e sua altura é igual a 18 cm ?
Dado:
Dado:
Encontrar a equação do plano tangente à superficie
no ponto
.
Ache o raio de convergência e o intervalo de convergência da série
.