Calcule, utilizando série de potências, a integral integral0^12 11+x^3 d x com precisão de pelo menos uma casa decimal.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral usando séries de potências. Para isso, vamos usar o conceito de série geométrica e integrar termo a termo. Vamos precisar entender como expandir a função em série e depois calcular a integral de cada termo dessa série.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função 11 + x^3 = 11 - (-x^3) = sumn=0^infty (-x^3)^n = sumn=0^infty (-1)^n x^3n de uma forma que facilite a expansão em série. Sabemos que a série geométrica é dada por , onde .
Aqui, podemos pensar em , então temos:
Essa expansão é válida para , ou seja, para . Como nosso intervalo de integração vai até , estamos dentro da faixa de convergência.

Passo 3

Agora que temos a função expandida em série, podemos integrar termo a termo. Vamos calcular a integral:
integral0^12 11 + x^3 , dx = integral0^12 sumn=0^infty (-1)^n x^3n , dx = sumn=0^infty (-1)^n integral0^12 x^3n , dx
A integral de integral x^3n , dx = x^3n + 13n + 1 é:
sumn=0^infty (-1)^n ( (12)^3n + 13n + 1 - 0 ) = sumn=0^infty (-1)^n3n + 1 (12)^3n + 1
Então, substituindo na série:

Passo 4

Vamos calcular alguns termos dessa série até alcançarmos a precisão de pelo menos uma casa decimal. Vamos somar os termos até que a mudança na soma não altere a primeira casa decimal.
Vamos calcular os primeiros termos:
n = 0: & (-1)^03(0) + 1 (12)^1 = 11 cdot 12 = 0,5 n = 1: & (-1)^13(1) + 1 (12)^4 = -14 cdot 116 = -0,015625 n = 2: & (-1)^23(2) + 1 (12)^7 = 17 cdot 1128 approx 0,001116 n = 3: & (-1)^33(3) + 1 (12)^10 = -110 cdot 11024 approx -0,0000977
Somando esses termos:
0,5 - 0,015625 + 0,001116 - 0,0000977 approx 0,4854
Como os termos seguintes são muito pequenos e não alteram a primeira casa decimal, podemos parar por aqui.

Resposta

A integral é aproximadamente quando calculada com pelo menos uma casa decimal de precisão.

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