Encontre partial zpartial u e partial zpartial v para as funções a seguir.
f(x, y)=4 x y^2, x=2 u+4 v e y=u^2+6 u v

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar as derivadas parciais partial zpartial u e partial zpartial v da função f(x, y) = 4xy^2, onde x = 2u + 4v e y = u^2 + 6uv. Vamos usar as regras de derivação parcial e a regra da cadeia para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais de f em relação a x e y.
A função é f(x, y) = 4xy^2.
Calculando partial fpartial x:
partial fpartial x = 4y^2
Calculando partial fpartial y:
partial fpartial y = 8xy

Passo 3

Agora, vamos encontrar as derivadas de x e y em relação a u e v.
Para x = 2u + 4v:
partial xpartial u = 2 e partial xpartial v = 4
Para y = u^2 + 6uv:
partial ypartial u = 2u + 6v e partial ypartial v = 6u

Passo 4

Usamos a regra da cadeia para calcular partial zpartial u e partial zpartial v.
A regra da cadeia nos diz que:
partial zpartial u = partial fpartial x cdot partial xpartial u + partial fpartial y cdot partial ypartial u
partial zpartial v = partial fpartial x cdot partial xpartial v + partial fpartial y cdot partial ypartial v

Passo 5

Substituímos os valores encontrados nas fórmulas da regra da cadeia.
Para partial zpartial u:
partial zpartial u = 4y^2 cdot 2 + 8xy cdot (2u + 6v) = 8y^2 + 16xyu + 48xyv
Para partial zpartial v:
partial zpartial v = 4y^2 cdot 4 + 8xy cdot 6u = 16y^2 + 48xyu

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial u = 8y^2 + 16xyu + 48xyv
partial zpartial v = 16y^2 + 48xyu

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