Calcule, utilizando Série de Taylor, uma aproximação do seno de
com uma precisão de pelo menos 3 casas decimais.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o seno de
usando a Série de Taylor, com precisão de pelo menos 3 casas decimais. Isso envolve conhecimentos de cálculo, especificamente de séries infinitas que aproximam funções. Para resolver, vamos precisar entender como a Série de Taylor funciona para a função seno e como aplicar seus termos para obter a aproximação desejada.
Passo 2
Primeiro, precisamos converter o ângulo de graus para radianos, pois a Série de Taylor para o seno é expressa em radianos. Lembre-se que
radianos equivalem a
.
Passo 3
Agora, vamos escrever a Série de Taylor para a função seno em torno de
:
Onde
é o ângulo em radianos.
Passo 4
Vamos calcular os termos da série até que a precisão de 3 casas decimais seja alcançada.
Primeiro, definimos
.
Calculando cada termo:
Vamos calcular cada parte:
Somando os termos até o quinto grau, já temos uma boa precisão:
Como os termos subsequentes são muito pequenos e não afetarão as três primeiras casas decimais, podemos parar por aqui.
Resposta
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Encontre
para as funções a seguir.
e
Ache o raio de convergência e o intervalo de convergência da série
.
Resolva os problemas de valores de contorno abaixo:
.
Um material está sendo escoado de um recipiente, formando uma pilha cônica cuja altura
é sempre igual ao raio
da base. Se em dado instante tem-se
, use diferenciais para obter a variação do raio que origina um aumento de
no volume
da pilha.
Obs.: .
Obs.: