Determine o intervalo de convergência de:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar o intervalo de convergência da série infinita
. Aqui, estamos trabalhando com séries de potências e vamos usar o teste da raiz para descobrir para quais valores de
a série converge. Precisamos entender como os termos da série se comportam quando
cresce.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série:
. Observe que
alterna entre
e
dependendo se
é par ou ímpar.
- Se
é par: , então , ficando o termo . - Se
é ímpar: , então , ficando o termo .
Portanto, a série alterna entre termos do tipo
e
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o teste da raiz para verificar a convergência da série. O teste da raiz diz que a série
converge se:
No nosso caso,
, então:
Passo 4
Vamos calcular o limite superior (lim sup) dessa expressão. Como
alterna entre
e
, temos:
- Para
par: - Para
ímpar:
O lim sup será o maior desses valores, que é
.
Passo 5
Aplicando o teste da raiz:
Isso significa que a série converge quando o valor absoluto de
é menor que
.
Passo 6
Agora, vamos verificar os extremos do intervalo, ou seja, quando
e
.
-
Para
: A série fica, que alterna entre e . Como há uma infinidade de termos iguais a , a série não converge. -
Para
: A série fica, que alterna entre e . Novamente, há uma infinidade de termos iguais a , então a série não converge.
Resposta
O intervalo de convergência da série é
.