Determine o intervalo de convergência de: sumn=1^infty x^n(2+(-1)^n)^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar o intervalo de convergência da série infinita . Aqui, estamos trabalhando com séries de potências e vamos usar o teste da raiz para descobrir para quais valores de a série converge. Precisamos entender como os termos da série se comportam quando cresce.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série: . Observe que alterna entre e dependendo se é par ou ímpar.
  • Se é par: , então , ficando o termo .
  • Se é ímpar: , então , ficando o termo .
Portanto, a série alterna entre termos do tipo e .

Passo 3

Agora, vamos aplicar o teste da raiz para verificar a convergência da série. O teste da raiz diz que a série limsupn to infty raiz[n]|an| < 1 converge se:
raiz[n]|an| = |x|2 + (-1)^n
No nosso caso, , então:

Passo 4

Vamos calcular o limite superior (lim sup) dessa expressão. Como alterna entre e , temos:
  • Para par:
  • Para ímpar:
O lim sup será o maior desses valores, que é .

Passo 5

Aplicando o teste da raiz:
|x| < 1
Isso significa que a série converge quando o valor absoluto de é menor que .

Passo 6

Agora, vamos verificar os extremos do intervalo, ou seja, quando e .
  • Para :
    A série fica , que alterna entre e . Como há uma infinidade de termos iguais a , a série não converge.
  • Para :
    A série fica , que alterna entre e . Novamente, há uma infinidade de termos iguais a , então a série não converge.

Resposta

O intervalo de convergência da série é .

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