Ache o raio de convergência para as seguintes séries. sumn=1^infty x^3 n n!n^n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o raio de convergência da série . Isso faz parte do conteúdo de séries de potências e convergência de séries. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar até onde a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teste da Razão. Esse teste diz que se a série tem termos gerais L = limn to infty | an+1an | , então calculamos o limite:
Se , a série converge; se , a série diverge; e se , o teste não é conclusivo.

Passo 3

Agora, vamos identificar o termo geral da nossa série:
an = x^3n n!n^n
Vamos calcular an+1 = x^3(n+1) (n+1)!(n+1)^n+1 :

Passo 4

Aplicando o Teste da Razão:

Passo 5

Simplificando as frações fatoriais e exponenciais:
(n+1)!n! = n+1
Então,
n^n(n+1)^n+1 = ( nn+1 )^n cdot 1n+1

Passo 6

Agora, vamos calcular o limite quando L = limn to infty |x^3| ( nn+1 )^n = |x^3| cdot limn to infty ( nn+1 )^n tende ao infinito:
limn to infty ( nn+1 )^n = 1e
Sabemos que:
L = |x^3| cdot 1e
Portanto,

Passo 7

Para que a série convirja, precisamos que |x^3| cdot 1e < 1 implies |x^3| < e implies |x| < e^1/3 :

Resposta

O raio de convergência da série é , ou aproximadamente .

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