Ache o raio de convergência para as seguintes séries.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o raio de convergência da série . Isso faz parte do conteúdo de séries de potências e convergência de séries. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar até onde a série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teste da Razão. Esse teste diz que se a série tem termos gerais , então calculamos o limite:
Se , a série converge; se , a série diverge; e se , o teste não é conclusivo.
Passo 3
Agora, vamos identificar o termo geral da nossa série:
an = x^3n n!n^n
Vamos calcular an+1 = x^3(n+1) (n+1)!(n+1)^n+1 :
Passo 4
Aplicando o Teste da Razão:
Passo 5
Simplificando as frações fatoriais e exponenciais:
(n+1)!n! = n+1
Então,
n^n(n+1)^n+1 = ( nn+1 )^n cdot 1n+1
Passo 6
Agora, vamos calcular o limite quando L = limn to infty |x^3| ( nn+1 )^n = |x^3| cdot limn to infty ( nn+1 )^n tende ao infinito:
limn to infty ( nn+1 )^n = 1e
Sabemos que:
L = |x^3| cdot 1e
Portanto,
Passo 7
Para que a série convirja, precisamos que |x^3| cdot 1e < 1 implies |x^3| < e implies |x| < e^1/3 :
Resposta
O raio de convergência da série é , ou aproximadamente .