Determine o intervalo de convergência de: sumn=2^infty x^nln n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o intervalo de convergência da série . Isso significa descobrir para quais valores de a série dá uma soma finita. Para isso, vamos usar o Teste da Raiz, que é uma das ferramentas da Análise de Séries para verificar a convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Teste da Raiz. Esse teste diz que a série limn to infty raiz[n]|an| < 1 converge se:
L = limn to infty raiz[n]| x^nln n | = limn to infty |x|(ln n)^1/n
No nosso caso, . Então, precisamos calcular:

Passo 3

Agora, vamos simplificar o limite. Sabemos que L = limn to infty |x|1 = |x| cresce para o infinito quando vai para o infinito, mas tende a 1, porque a raiz -ésima de qualquer função que cresce mais devagar que exponencial tende a 1. Portanto:

Passo 4

Segundo o Teste da Raiz, a série converge se |x| < 1 . Então, temos:
Isso significa que a série converge para todos os cujo valor absoluto é menor que 1.

Passo 5

Vamos verificar o que acontece nos extremos, ou seja, quando e .
  • Para :
    A série vira . Sabemos que diminui mais devagar que , e a série é a famosa série harmônica, que diverge. Então, para , a série também diverge.
  • Para :
    A série fica . Aqui, temos uma série alternada. Para que uma série alternada converja, as condições de Leibniz precisam ser atendidas: os termos devem diminuir em módulo e tender a zero. De fato, diminui e tende a zero. Portanto, a série converge para .

Resposta

O intervalo de convergência da série é .

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