Determine o intervalo máximo de convergência de cada uma das séries de potências abaixo: sumn=1^infty 3^nn 4^n x^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente determinar o intervalo máximo de convergência da série de potências . Isso faz parte do conteúdo de convergência de séries de potências. Para resolver, vamos precisar usar o Teste da Razão, que ajuda a encontrar até onde a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a série para facilitar os cálculos. A série dada é:
sumn=1^infty 3^nn 4^n x^n
Podemos reescrever isso como:
sumn=1^infty (3/4)^nn cdot x^n
Aqui, .

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teste da Razão para encontrar o raio de convergência. O teste diz que:
L = limn to infty | an+1an |
Se , a série converge; se , diverge; e se , o teste é inconclusivo.

Passo 4

Calculando a razão an+1an = (3/4)^n+1n+1 cdot n(3/4)^n = 34 cdot nn+1 :
L = limn to infty 34 cdot nn+1 = 34 cdot 1 = 34
Agora, calculamos o limite quando tende ao infinito:
Como , a série converge.

Passo 5

O resultado do teste nos dá o raio de convergência | 34 cdot x | < 1 implies |x| < 43 . Sabemos que:
Então, o raio de convergência é .

Passo 6

Isso significa que a série converge para todos os valores de -43 < x < 43 dentro do intervalo:
Agora, precisamos verificar os pontos finais e para ver se a série também converge nesses pontos.

Passo 7

Para sumn=1^infty (3/4)^nn cdot (43)^n = sumn=1^infty 1n :
sumn=1^infty (3/4)^nn cdot (-43)^n = sumn=1^infty (-1)^nn
Essa é a série harmônica, que diverge.
Para :
Essa é a série harmônica alternada, que converge.

Resposta

O intervalo máximo de convergência da série é .

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