Use séries para avaliar os limites
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o limite quando
se aproxima de 0 da expressão
. Isso envolve o uso de séries de Taylor, que são uma forma de aproximar funções por polinômios. Vamos precisar entender como expandir a função seno em série de Taylor e depois simplificar a expressão para encontrar o limite.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a série de Taylor para
em torno de 0. A série é:
Essa expansão nos permite aproximar o seno de
usando potências de
.
Passo 3
Agora, vamos substituir a série de
na expressão original:
Simplificando os termos, temos:
Passo 4
Vamos reorganizar os termos para facilitar a simplificação:
Agora, observamos que os primeiros termos são de potências menores que
, mas como vamos dividir por
, precisamos focar nos termos que contribuirão para o limite.
Passo 5
Dividindo toda a expressão por
:
Simplificando cada termo:
Passo 6
Agora, vamos analisar o comportamento de cada termo quando
:
-
-
-
permanece constante
Mas para termos que divergem, precisamos verificar se há cancelamento. No nosso caso, os termos que divergem são negativos e positivos, mas eles não se cancelam completamente. Entretanto, ao considerar a expansão completa da série, vemos que os termos de ordem inferior vão se cancelar, deixando apenas os termos de ordem
e superiores.
Passo 7
Focando no termo relevante para o limite:
Os demais termos com potências de
superiores a 5 vão tendendo a zero quando
.
Resposta
Portanto, o limite é
.