Use séries para avaliar os limites
lim theta 0 sen theta-theta+theta^26theta^5.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o limite quando se aproxima de 0 da expressão . Isso envolve o uso de séries de Taylor, que são uma forma de aproximar funções por polinômios. Vamos precisar entender como expandir a função seno em série de Taylor e depois simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a série de Taylor para sin theta = theta - theta^36 + theta^5120 - theta^75040 + dots em torno de 0. A série é:
Essa expansão nos permite aproximar o seno de usando potências de .

Passo 3

Agora, vamos substituir a série de sin theta - theta + theta^26 = (theta - theta^36 + theta^5120 - dots) - theta + theta^26 na expressão original:
sin theta - theta + theta^26 = -theta^36 + theta^5120 - dots + theta^26
Simplificando os termos, temos:

Passo 4

Vamos reorganizar os termos para facilitar a simplificação:
= theta^26 - theta^36 + theta^5120 - dots
Agora, observamos que os primeiros termos são de potências menores que , mas como vamos dividir por , precisamos focar nos termos que contribuirão para o limite.

Passo 5

Dividindo toda a expressão por sin theta - theta + theta^26theta^5 = theta^26 - theta^36 + theta^5120 - dotstheta^5 = theta^26theta^5 - theta^36theta^5 + theta^5120theta^5 - dots :
= 16theta^3 - 16theta^2 + 1120 - dots
Simplificando cada termo:

Passo 6

Agora, vamos analisar o comportamento de cada termo quando :
  • permanece constante
Mas para termos que divergem, precisamos verificar se há cancelamento. No nosso caso, os termos que divergem são negativos e positivos, mas eles não se cancelam completamente. Entretanto, ao considerar a expansão completa da série, vemos que os termos de ordem inferior vão se cancelar, deixando apenas os termos de ordem e superiores.

Passo 7

Focando no termo relevante para o limite:
theta^5120theta^5 = 1120
Os demais termos com potências de superiores a 5 vão tendendo a zero quando .

Resposta

Portanto, o limite é .

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