Ache o raio de convergência para as seguintes séries. sumn=1^infty x^n n!n^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma série infinita: sumn=1^infty x^n n!n^n. Nosso objetivo é encontrar o raio de convergência dessa série. Isso significa descobrir para quais valores de x a série converge, ou seja, dá um resultado finito. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta legal para analisar séries envolvendo fatorial e potências.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar rapidamente o que é o Teste da Razão. Ele funciona assim: pegamos o limite da razão entre o termo seguinte e o termo atual da série quando n tende ao infinito. Se esse limite for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, a série diverge; e se for igual a 1, o teste não nos dá resposta. Matemáticamente, isso fica:
L = limn to infty | an+1an |
Se L < 1, a série converge.

Passo 3

Vamos identificar nossos termos. Na nossa série, o termo geral an é:
an = x^n n!n^n
Então, o termo seguinte an+1 será:
an+1 = x^n+1 (n+1)!(n+1)^n+1

Passo 4

Agora, vamos montar a razão an+1an:
an+1an = x^n+1 (n+1)!(n+1)^n+1x^n n!n^n = x cdot (n+1)!n! cdot n^n(n+1)^n+1
Simplificando:
= x cdot (n+1) cdot (nn+1)^n cdot 1n+1 = x cdot (nn+1)^n

Passo 5

Agora, precisamos calcular o limite quando n vai para o infinito:
L = limn to infty | x cdot (nn+1)^n | = |x| cdot limn to infty (nn+1)^n
Sabemos que:
limn to infty (nn+1)^n = 1e
Portanto:
L = |x| cdot 1e

Passo 6

Aplicando o Teste da Razão, queremos que L < 1 para a série convergir:
|x| cdot 1e < 1 implies |x| < e
Então, o raio de convergência R é igual a e.

Resposta

O raio de convergência da série é R = e.

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