Ache o raio de convergência para as seguintes séries.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma série infinita: . Nosso objetivo é encontrar o raio de convergência dessa série. Isso significa descobrir para quais valores de a série converge, ou seja, dá um resultado finito. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta legal para analisar séries envolvendo fatorial e potências.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar rapidamente o que é o Teste da Razão. Ele funciona assim: pegamos o limite da razão entre o termo seguinte e o termo atual da série quando tende ao infinito. Se esse limite for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, a série diverge; e se for igual a 1, o teste não nos dá resposta. Matemáticamente, isso fica:
Se , a série converge.
Passo 3
Vamos identificar nossos termos. Na nossa série, o termo geral é:
Então, o termo seguinte será:
Passo 4
Agora, vamos montar a razão :
Simplificando:
Passo 5
Agora, precisamos calcular o limite quando vai para o infinito:
Sabemos que:
Portanto:
Passo 6
Aplicando o Teste da Razão, queremos que para a série convergir: