Ache o raio de convergência para as seguintes séries.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma série infinita: . Nosso objetivo é encontrar o raio de convergência dessa série. Isso significa descobrir para quais valores de a série converge, ou seja, dá um resultado finito. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta legal para analisar séries envolvendo fatorial e potências.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar rapidamente o que é o Teste da Razão. Ele funciona assim: pegamos o limite da razão entre o termo seguinte e o termo atual da série quando tende ao infinito. Se esse limite for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, a série diverge; e se for igual a 1, o teste não nos dá resposta. Matemáticamente, isso fica:
Se , a série converge.

Passo 3

Vamos identificar nossos termos. Na nossa série, o termo geral é:
Então, o termo seguinte será:

Passo 4

Agora, vamos montar a razão :
Simplificando:

Passo 5

Agora, precisamos calcular o limite quando vai para o infinito:
Sabemos que:
Portanto:

Passo 6

Aplicando o Teste da Razão, queremos que para a série convergir:
Então, o raio de convergência é igual a .

Resposta

O raio de convergência da série é .

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Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
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Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.