Um modelo para a densidade da atmosfera terrestre próxima à superfície é onde (a distância do centro da Terra) é medido em metros e é medido em quilogramas por metro cúbico. Se tomarmos a superfície da Terra como uma esfera com raio de 6370 km , então, este modelo é razoável para Use este modelo para estimar a massa da atmosfera entre o solo e uma altitude de 5 km .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a pergunta está pedindo. A gente tem um modelo que descreve a densidade da atmosfera terrestre perto da superfície, representada pela equação . Aqui, é a distância do centro da Terra em metros, e é a densidade em quilogramas por metro cúbico. A questão quer que a gente use esse modelo para calcular a massa da atmosfera entre o solo e uma altitude de 5 km. Para isso, vamos precisar de conceitos de cálculo, especialmente integração, para somar todas as pequenas massas em diferentes alturas.

Passo 2

Primeiro, vamos converter todas as unidades para ficarem consistentes. Sabemos que o raio da Terra é de 6370 km, que é igual a metros. Queremos considerar até 5 km acima do solo, então vai de metros até metros.

Passo 3

A massa da atmosfera em uma camada finita pode ser calculada pela integral da densidade sobre o volume dessa camada. Como estamos lidando com esferas concêntricas, o volume infinitesimal em uma distância do centro é dado por:
Aqui, é a ��rea da superfície de uma esfera com raio , e é a espessura infinitesimal da camada.

Passo 4

Agora, vamos expressar a massa infinitesimal dessa camada:
Isso significa que a massa total da atmosfera entre m e m é a integral de de a .

Passo 5

Vamos montar a integral para calcular a massa total :
Podemos fatorar o para simplificar:

Passo 6

Vamos resolver a integral termo a termo:
Então, a massa fica:

Passo 7

Agora, vamos substituir os limites de integração m e m na expressão:

Passo 8

Depois de calcular os valores dentro dos colchetes, fazemos as operações de subtração e multiplicação para obter a massa total . Devido aos grandes números envolvidos, é comum usar uma calculadora ou software de matemática para facilitar os cálculos.

Resposta

Após realizar os cálculos, a massa da atmosfera entre o solo e uma altitude de 5 km é aproximadamente kg.

Exercícios relacionados

Considere a região e no plano .
Esboce e a descreva em coordenadas polares.
Ache o raio de convergência para as seguintes séries.
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
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