Um modelo para a densidade
da atmosfera terrestre próxima à superfície é
onde
(a distância do centro da Terra) é medido em metros e
é medido em quilogramas por metro cúbico. Se tomarmos a superfície da Terra como uma esfera com raio de 6370 km , então, este modelo é razoável para
Use este modelo para estimar a massa da atmosfera entre o solo e uma altitude de 5 km .
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a pergunta está pedindo. A gente tem um modelo que descreve a densidade da atmosfera terrestre perto da superfície, representada pela equação
. Aqui,
é a distância do centro da Terra em metros, e
é a densidade em quilogramas por metro cúbico. A questão quer que a gente use esse modelo para calcular a massa da atmosfera entre o solo e uma altitude de 5 km. Para isso, vamos precisar de conceitos de cálculo, especialmente integração, para somar todas as pequenas massas em diferentes alturas.
Passo 2
Primeiro, vamos converter todas as unidades para ficarem consistentes. Sabemos que o raio da Terra é de 6370 km, que é igual a
metros. Queremos considerar até 5 km acima do solo, então
vai de
metros até
metros.
Passo 3
A massa da atmosfera em uma camada finita pode ser calculada pela integral da densidade sobre o volume dessa camada. Como estamos lidando com esferas concêntricas, o volume infinitesimal
em uma distância
do centro é dado por:
Aqui,
é a ��rea da superfície de uma esfera com raio
, e
é a espessura infinitesimal da camada.
Passo 4
Agora, vamos expressar a massa infinitesimal
dessa camada:
Isso significa que a massa total da atmosfera entre
m e
m é a integral de
de
a
.
Passo 5
Vamos montar a integral para calcular a massa total
:
Podemos fatorar o
para simplificar:
Passo 6
Vamos resolver a integral termo a termo:
Então, a massa fica:
Passo 7
Agora, vamos substituir os limites de integração
m e
m na expressão:
Passo 8
Depois de calcular os valores dentro dos colchetes, fazemos as operações de subtração e multiplicação para obter a massa total
. Devido aos grandes números envolvidos, é comum usar uma calculadora ou software de matemática para facilitar os cálculos.
Resposta
Após realizar os cálculos, a massa da atmosfera entre o solo e uma altitude de 5 km é aproximadamente
kg.
Exercícios relacionados
Considere a região e
no plano
.
Esboce e a descreva em coordenadas polares.
Esboce
Ache o raio de convergência para as seguintes séries.
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
p)
p)