Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
p) lim (x, y) (0,0) sen(x^2+y^2)x^2+y^2

Passo 1

Então, temos um exercício que pede para encontrar o limite da função quando sen(x^2+y^2)x^2+y^2 se aproxima de (x, y). Esse problema está relacionado ao cálculo de limites em funções de várias variáveis. Para resolver, vamos precisar entender como calcular limites em mais de uma dimensão e usar algumas propriedades trigonométricas básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos observar que a expressão x^2 + y^2 representa a distância ao quadrado do ponto (x, y) até a origem (0,0). Quando (x, y) se aproxima de (0,0), essa distância também se aproxima de zero.

Passo 3

Sabemos que, em uma variável, . Vamos ver se conseguimos aplicar essa ideia aqui. Para isso, vamos fazer uma substituição: seja limz to 0 sen(z)z = 1. Assim, quando z = x^2 + y^2, também (x, y) to (0,0).

Passo 4

Substituindo na função original, temos:
Agora, nosso limite se transforma em:

Passo 5

Como sabemos pela regra de limites, . Portanto, o limite da nossa função original também será 1.

Resposta

1

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